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1、1月大数据精选模拟卷03（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【详解】因为集合，所以2若i为虚数单位，（ ）ABCD【答案】D【详解】.3设x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）A2B4C6D8【答案】D【详解】作出不等式组表示的可行域,如图，设，由图可知，当直线经过点时，取到最大值，联立可得，代入可得取得最大值故选：D4华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等他除了数学理论
2、研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的
3、样本混合检查以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测A3B4C5D6【答案】B【详解】第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第
4、一人检测结果为阳性，则第2人没有感染如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测5直线被圆所截得的弦长为2，则（ ）AB1C0D【答案】C【详解】解：因为直线被圆所截得的弦长为2，圆的圆心为，半径为，所以，即，解得，故选：C6的三边满足，则的最大内角为（ ）ABCD【答案】D【详解】由余弦定理可得，因此，的最大内角为.故选：D.7PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物如图是根据环保部门某日早6点至晚9点在A县、B县两个地区附近的PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，A县、B县两个地区浓度的方
5、差较小的是（ ）AA县BB县CA县、B县两个地区相等D无法确定【答案】A【详解】根据茎叶图中的数据可知，A县的数据都集中在0.05和0.08之间，数据分布比较稳定，而B县的数据分布比较分散，不如A县数据集中，所以A县的方差较小故选：A8对于任意角，化简cos4sin4（ ）A2sin B2cos Csin 2Dcos 2【答案】D【详解】解：cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2故选：D9已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】D【详解】设的坐标为，由左焦点，所以函数的导数，则在处
6、的切线斜率，即，得，则，设右焦点为，则，即，双曲线的离心率.故选：D10已知函数的部分图像如图所示，则函数解析式为（ ）ABCD【答案】C【详解】由函数图象可知，函数的最小值是-3，所以，解得：，当时，.11一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面）的三视图如图所示，则侧视图的面积为（ ）AB8CD12【答案】C【详解】侧视图的宽为,即为俯视图的高，底面正三角形的边长为，设三棱柱的高，体积为 侧视图的面积为：,12若，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【详解】由，指数函数为减函数，幂函数为增函数，所以，又对数函数为减函数，则，而，则，所以.综上；二、填空题：本题共4小题，每
7、小题5分，共20分。13在中，与的夹角为，则_【答案】【详解】解：.14的展开式中的系数为，则_【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得，令，解得，所以展开式中项为，其系数为，解得.15已知直三棱柱其外接球的体积为_.【答案】【详解】已知AB=AC,三角形为等腰三角形，取M为BC的中点，连接AM,则AMBC,由已知得BC=,又,，再由正弦定理,（r为三角形外接圆半径），r=2,设两底面的外接圆的圆心分别为，外接球球心为的中点，外接球的半径,所以球的体积为,16过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若，则(O为坐标原点)的面积为_.【答案】【详解】由题意知，不妨设在第一象限，设，联立
8、方程，整理可得，解得，.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）设，若是的前n项和，求.【详解】解：（1）由题设可得：，公比，又，；（2）由（1）可得：，.18如图，四棱柱中，底面为矩形，平面，分别是，的中点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：取的中点，连接，.因为是的中点，所以，.因为是的中点，所以，.所以，.所以四边形是平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为底面为矩形，平面，所以，.以点为坐标原点，分别以直线，为，
9、轴建立空间直角坐标系.因为，所以，.所以，.设平面的法向量为，所以，即，令，则.所以.所以.所以直线与平面所成角的正弦值.19一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为，求的分布列及数学期望【详解】(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，由题意可知：.部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：.(2)由题意可知X的取值为0，1,2,3.且：，.，故X的分布列为：012
10、3其数学期望：.20已知椭圆：()的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围.【详解】（1）因为原点到直线的距离为，所以（），解得.又，得所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率为时，,所以，当直线的斜率不为时，设直线：，联立方程组，得，由，得，所以， ， 由，得，所以.综上可得：，即.21已知函数，（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若对(-3，-2)，1，3 ，不等式恒成立，求实数的取值范围.【详解】（1）当时，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，无极大值.（2）
11、当时，定义域为，令得或，当，即时，由得或，由得，所以在和上单调递减，在上单调递增，当，即时，所以在上单调递减，当，即时，由得或，由得，所以在和上单调递减，在上单调递增，（3）由（2）可知对(-3，-2)，在上单调递减，因为不等式恒成立，等价于，而，所以，即对(-3，-2)恒成立，所以，解得.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数).（1）写出直线与曲线的直角坐标方程；（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的最小值.【详解】解：（1）由消去参数得所以直线的直角坐标方程为，由及得，所以曲线的直角坐标方程为（2）由得代入得所以曲线，因为为曲线上任一点，故可设，所以，当且仅当即时取得最小值.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集为空集，求实数m的取值范围【详解】（1）由不等式可得：，可化为：，或，或，解得：，或，或，综上不等式的解集为 （2）因为，当且仅当时，等号成立.所以，由不等式的解集为空集，得，所以，解得或，所以，实数的取值范围为
