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1、4月大数据精选模拟卷03（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D【详解】由，即，得，集合，由得，即，集合，由数轴表示可得，.故选：D 2复数满足，则（ ）ABCD【答案】D【详解】，则，所以，因此，.故选：D3如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】A【详解】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，设 =所以当时，上式取最小值 ，故选：A.4已知，且，则等于（ ）A
2、BC3D3【答案】A【详解】由，可得，即，又因为，所以，所以.故选：A.5已知数列的前项和满足，且，则（ ）ABCD【答案】C【详解】对于：当时，解得；又当时，所以得，当时，所以得，可得，所以数列为等差数列，设其公差为因为，解得又，且易得，所以，故.6函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】A详解】由题知的定义域为因为，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除选项B；又，故排除选项C，D.7某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为（ ）ABC4D8【答案】C【详解】由三视图可知，还原后的几何体直观图如图，故该几何体的体积为： 故选：C8筒车是我们古代发明的一种水
3、利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车沿逆时针方向以角速度转动，规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系，设盛水筒从点运动到点时经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：米），筒车经过第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（ ） A当时，点与点重合B当时，一直在增大C当时，盛水筒有次经过水平面D当时，点在最低点【答案】C【详解】设，依题意又，所以又，圆的半径为，所以点满足，当时，解得，所以，故该函数最小正周期为
4、，所以当时，点与点重合，选项A错误；令，解得，当时，又因为，所以选项B错误；令，即，所以或，解得或又，所以可以取的值为，此时盛水筒有次经过水平面，选项C正确；当时，所以选项D错误，故选：C9执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是（ ）ABCD【答案】C【详解】模拟执行程序框图，输入，不满足，则，需不满足判断框，循环；不满足，则，需不满足判断框，循环；不满足，则，需不满足判断框，循环；不满足，则，需不满足判断框，循环；满足，则，需满足判断框，输出；判断框中的条件应为：.故选：C.10已知菱形边长为2，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为60，设为的中点，为三棱锥表面上动点，
5、且总满足，则点轨迹的长度为（ ）ABCD【答案】D【详解】连接，交于点，连接，为菱形，所以，均为正三角形，所以为二面角的平面角，于是，又因为，所以为正三角形，所以,取的中点，取的中点，连接，所以， 所以，所以平面,所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为，因为，所以的周长为，所以点轨迹的长度为.故选：D11已知点P是抛物线上一点，且点P到点的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则（ ）AB4CD【答案】D【详解】如图所示，由题得准线方程为，点P到点的距离与到y轴的距离之和为，（当点在线段与抛物线的交点时取等），所以，解之得.12若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同
6、一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【详解】根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称，研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可，关于原点对称的解析式为，考查的图像和的交点，可得，令，所以，为减函数，为增函数，其图象为，故若要有两解，只要即可，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，则与的夹角为_.【答案】【详解】，与的夹角为.14已知红箱内有个红球、个白球，白箱内有个红球、个白球，所有小球大小、形状完全相同第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，
7、依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去则第次取出的球是红球的概率为_【答案】【详解】设第次取出红球的概率为，则取出白球的概率为，考虑第次取出红球的概率为.若第次取出的球为红球，则第次在红箱内取出红球的概率为；若第次取出的球为白球，则第次在白箱内取出红球的概率为.所以，且，所以，因此，.15已知双曲线的左，右焦点分别为，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点(点位于第一象限)，的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，则直线的斜率为_.【答案】【详解】设圆与的三边的切点分别为，如图令，根据双曲线的定义可得可得，由此可知，在中，轴于，同理轴于，轴.过圆心作的垂线，垂足为
8、.易知直线的倾斜角与大小相等.不妨设，则，所以根据勾股定理，所以.16已知正方体的棱长为4，点是 的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为_.【答案】【详解】如图，取的中点，的中点，连接 由于在面内的射影为，故因为在面内的射影为，所以.故由，因为，所以平面.要使，必须点在平面内，又点在侧面内，所以点在平面与平面的交线上，即.因为平面，所以，所以当时，最小，此时，的面积最小.又，故.由的面积可得，所以.故答案为: 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17记Sn为等差数列an的前n项和，且a104，S1530（1）求数列an的通项公式以及前n项和Sn；（2）
9、记数列的前n项和为Tn，求满足Tn0的最小正整数n的值【详解】记数列an的公差为d，S153015a830a82，故，故ana10(n10)d4n10n6，Snna15n（2）依题意，Tn(54n6)(21202n2)，当n1时，T1；当n2时，T2；当n3时，T3；当n4时，T4；当n5时，所以Tn0故满足Tn0的最小正整数n的值为518如图，四棱锥中，底面是矩形，且侧面底面，侧面底面，点是的中点，动点在边上移动，且（1）证明：底面；（2）当点在边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值【详解】（1）证明：侧面底面，且侧面底面，平面，同理侧面底面，且侧面底面，平面，底面（2）底面，点是的中点，
10、且，侧面，且，侧面，侧面，为二面角所成的角，当时，三线两两垂直，分别以，为、轴建立空间直角坐标系，如图所示，设平面的法向量为，则，得，令，得，则，设平面的法向量为，由，得，令，得，设二面角为，则.19有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表：班级与成绩列联表：优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？参考公式及数据：，其中.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【详解】计算得的观测值为，因为0.6533.841，所以没有充分证据认为“成绩与班级有关系”.
11、20已知椭圆：的左焦点与上顶点关于直线对称，又点在上（1）求椭圆的标准方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线，垂足为，试证点总在定圆上【详解】解：（1）左焦点，上顶点关于直线对称，可知，将点的坐标代入椭圆得，又，联立解得：，故椭圆的标准方程为：；（2）当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得，消去并整理，得，因为直线和椭圆有且仅有一个交点，即方程有两个相等的根，化简并整理，得因为直线与垂直，所以直线的方程为：，联立解得，把代入上式得，点Q坐标（x,y）总满足，恒为定值 ；当切线的斜率为时，直线，过点作直线的垂线为：，即此时或，点Q坐标（x,y）也满
12、足；当切线的斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线为：，即此时或，点Q坐标（x,y）也满足综上所述，点总在定圆上21设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，因为，解得，所以，令，即，解得或；令，即，解得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）若在定义域上是增函数，则对恒成立，因为，即时，不等式恒成立，即对恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，即实数a的取值范围是.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的方程为，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）曲线分别交曲线和曲线于点，求的最大值及相应的值.【详解】解：（1）曲线的普通方程为，由，得的极坐标方程为，由曲线的极坐标方程为，得曲线的普通方程为（2）由曲线 的极坐标方程为，令，则，又因为，.，当 ，即时，取得最大值.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知（1）当时，求不等式的解集；（2）对实数，证明.【详解】（1）当时，当时，不满足；当时，当时，满足，所以不等式的解集.（2）证明：， ，当且仅当，即时取等号，两不等式相加得，.
