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1、1月大数据精选模拟卷04（新课标卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【详解】，.2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【详解】由复数的运算法则，可得，对应的点位于第四象限.故选：D.3已知向量，若，则m为（ ）ABC2D4【答案】B【详解】向量，.若，则，解得：.4已知是公差为的等差数列，且，则（ ）A3B9C18D24【答案】B【详解】因为是公差为的等差数列，所以，故选：B.5已知函数是区间上
2、的可导函数，且导函数为，则“对任意的，”是“在上为增函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A与必要条件的概念，由导函数的正负与函数单调性之间关系，即可得出结果.【详解】因为函数是区间上的可导函数，且导函数为，若“对任意的，”，则在上为增函数；若在上为增函数，则对任意的恒成立，即由“对任意的，”能推出“在上为增函数”；由“在上为增函数”不能推出“对任意的，”，因此“对任意的，”是“在上为增函数”的充分不必要条件.6抛物线上的点到直线的距离的最小值为（ ）ABCD【答案】B【详解】设是抛物线上任一点，则到直线的距离为，易知时，的最大值是，7函数的部分
3、图象可能是（ ）ABCD【答案】A【详解】函数的定义域为则所以该函数为奇函数，故排除又，故排除，则正确8的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A等于（ ）AB或CD或【答案】D【详解】因为，由正弦定理可得，又因为，可得，所以，又由，所以或.9在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】D【详解】在中，由余弦定理可得，则，所以，由平面，则，所以平面，所以，所以为直角三角形，又为直角三角形，所以是外接球直径，O是的中点，即为球心，又，所以，所以外接球半径为，所以球O的体积.10北京时间2020年12月17日1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品在预定区域安全着陆，嫦娥
4、五号任务取得圆满成功.这是发挥新型举国体制优势攻坚克难取得的又一重大成就，标志着中国航天向前迈出的一大步，将为深化人类对月球成因和太阳系演化历史的科学认知作出贡献.在所有航天工程中，火箭的作用毋庸置疑，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（km/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系是.按照这个规律，若火箭的最大速度可达到第二宇宙速度11.2km/s，则火箭的燃料质量M与火箭质量m之比约为（ ）（参考数据：）A0.0044B2.0056C1.0056D0.0056【答案】D【详解】由题意可知，则，所以.11如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线
5、的右准线分成弧长为的两段圆弧，那么该双曲线的离心率等于（ ）ABCD2【答案】B【详解】如图所示，由题意可知圆的半径，设双曲线的右准线与圆交于两点，则，设准线与轴交于点，则，所以离心率.故选：B.12已知是定义在上的单调函数，是上的单调减函数，且，则（ ）ABCD【答案】B【详解】由已知得，则，所以，所以，则，则，所以又因为是上的单调减函数，所以二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在点处的切线方程为_【答案】【详解】由题意得：，所以切线的斜率，又切点为，所以切线方程为，即，14在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变
6、革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为_.【答案】12【详解】解：按照抽样抽取样本中，高一学生有16人，则高三学生有人，15已知实数x，y满足不等式组，则的最大值是_【答案】9【详解】画出表示的可行域，如图所示：，可得交点，可变为，当过点时，有最大值，且为9.16如图，位于山西省朔州市应县佛宫寺内的释迦塔，俗称应县木塔，是我国现存最高最古老的木结构塔式建筑，木塔顶部可以近似地看成一个正八棱锥，其侧面和底面的夹角大小为，则该正八棱锥的高和底面边长之比为_.(参考数据：)【答案】【详解】如
7、图所示:点是正八棱锥的顶点，点是底面的中心，是底面的一条边，是的中点,根据题意知，因为，设，则，又因为二面角的大小为，即，所以，即正八棱锥的高和底面边长之比为.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）设，若是的前n项和，求.【详解】解：（1）由题设可得：，公比，又，；（2）由（1）可得：，.18某大学为调研学生在、两家餐厅用餐的满意度，从在、两家都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分.整理评分数据，将分数以为组距分为组：、，得到餐厅分数的频率分布
8、直方图和餐厅分数的频数分布表： 餐厅分数的频数分布表分数区间频数235154035（1）在抽样的人中，求对餐厅评分低于的人数；（2）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出人，求人中恰有人评分在范围内的概率.（3）如果从、两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.【详解】（1）由餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于分的频率为：，对餐厅评分低于的人数为人；（2）对餐厅评分在范内的有人，设为、，对餐厅评分在范围内的有人，设为、，从这人中随机选出人的选法为：、，共种，其中恰有人评分在范围内的选法包括：、，共种，故人中恰有人评分在范围内的概率为；（3）从两个餐厅得分低于分的人数所占的比例来看，
9、由（1）得，抽样的人中，餐厅评分低于的人数为，餐厅评分低于分的人数所占的比例为，餐厅评分低于分的人数为，餐厅得分低于分的人数所占的比例为，会选择餐厅用餐.19如图，平行四边形中，分别为的中点.以为折痕把四边形折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离.【详解】（1）证明：记，连接NO，可知四边形ABFE是菱形，所以，且O为AF，BE的中点，又，所以，又因为，NO，平面NEB，所以平面NEB，平面，平面平面.（2）因为，所以，四边形是平行四边形，所以，所以，所以，所以，又由（1）可知：，且，AF，平面ABFE，所以平面ABFE，以直线OE为x轴，
10、直线OA为y轴，直线ON为轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以， 设是平面 的法向量，则，取，得，则点到平面的距离.20已知椭圆的左右焦点分别为，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，的周长分别为12和8.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，解得，所以，因此椭圆的方程为.（2）因为直线过点且不与轴重合，所以设的方程为，联立方程，消去并整理得，设，则，所以，.设，则直线与的斜率分别为，则.所以当，即当时，；当时，.因此，所有满足条件的的坐标为和.21已知函
11、数（1）当时，求的单调区间；（2）求在上的最小值【详解】解：（1）的定义域为，当时，当时，则的单调递增区间为；当时，则的单调递减区间为.（2）当时，在上单调递减，此时，当时，在上单调递增，此时，当时，若，则单调递减；若，则单调递增此时，综上所述：请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线交于两点，求直线的直角坐标方程及的长.【详解】（1）依题意，即，所以曲线，故，即曲线的极坐标方程为；曲线即，即，则曲线的直角坐标方程为；（2）联立，两式相减可得，即直线的直角坐标方程为；又圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以弦长.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：.【详解】（1）当时，即，即，则或，得或，于是有或，又，或，因此实数的取值范围是；（2）要证，只需证，则，.
