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1、2月大数据精选模拟卷02（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合，则（ ）ABCD【答案】B【详解】由题意可知，因此，.故选：B.2若复数，则（ ）ABCD【答案】C【详解】由题得，所以.故选：C3已知向量，若，则，的夹角为（ ）ABCD【答案】C【详解】因为，所以因为，所以，所以因为，所以向量，的夹角为故选：C4某学生准备参加某科目考试，在12次模拟考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试成绩的众数与中位数分别为（ ）A95，94B95，94.5C93
2、，94.5D95，95【答案】B【详解】由茎叶图可得众数为95，中位数为，故选：B.5已知函数是定义域为的奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（ ）ABCD【答案】A【详解】函数是定义域为的奇函数，当时，时，当时，又，在点处的切线方程为：.6执行如图所示的程序框图，则输出的数的个数是（ ）A7B6C5D4【答案】A【详解】根据程序框图知，输出的值为内满足的正整数的个数，则，而，当时，满足的正整数分别有：、，共个.故选：A.7为了给地球减负，提高资源利用率，垃圾分类在全国渐成风尚假设年、两市全年用于垃圾分类的资金均为万元在此基础上，市每年投入的资金比上一年增长，市每年投入的资金比上一年增长，
3、则用于垃圾分类的资金市开始超过市两倍的年份是（参考数据：）（ ）A年B年C年D年【答案】A【详解】设从年开始，第年市、市投入的资金分别为、，则，由题意得出，即，整理可得，所以，所以，用于垃圾分类的资金市开始超过市两倍的年份是年.8当满足时，目标函数的最大值为0，则（ ）A6B4C3D2【答案】B【详解】画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，由可得，作沿可行域的方向平移，当直线经过点时，取最大值，由 可得，所以此时，可得，故选：B9正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【详解】如图示：正四棱锥中，高，底面正方形边长,设正四棱锥的外
4、接球半径为，底面正四边形外接圆半径为则，由得：，解得：，.故选：B.10在中，分别为，的对边，如果，那么的值为（ ）ABCD【答案】A【详解】，由正弦定理可得即：整理得：对照余弦定理可得11已知抛物线，过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是（ ）ABCD【答案】C【详解】设过抛物线的焦点的直线为：，代入抛物线方程得，由直线上两点，则有，所以选项A正确；，所以选项B正确；点坐标为，故，所以，当时，即，所以选项C错误；由题得，所以选项D正确，故选：C12已知函数，若在曲线的图象上存在四个点构成正方形，且该正方形的面积为，则下列说法中正确的是（ ）A当取
5、得最大值时，取得最小值，且的最大值为B的最小值为C的最小值为D当取得最小值时，设，则有三个零点且各零点处切线斜率的倒数之和为【答案】BC【详解】曲线的图象上存在四个点构成正方形，设为ABCD，且该正方形的面积为则的图象关于对称，不妨设设，因为又，当且仅当时取等号当且仅当时取等号，当取最大值时，取不到最小，则A错误，B正确；因为，当且仅当时取等号故C正确；或，所以有三个零点，不妨设，各零点处切线斜率的倒数之和为0，故D错误.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，若，则_【答案】【详解】由，可得：，所以，则，故答案为：14如图是为了提高小朋友智力的游戏画板，现提供种不同的颜色给
6、其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域不同色，则使、区域同色的涂法有_种【答案】【详解】涂色后，按同色和不同色分类计算所以总方法为故答案为：18015设为双曲线上的一个动点，点到的两条渐近线的距离分别为和，则的最小值为_.【答案】【详解】双曲线的渐近线方程是，设是双曲线上任一点，不妨设，在双曲线上，即，所以，当且仅当，即或时等号成立的最小值为故答案为：16如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最小值为_【答案】【详解】平面，将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球直径为，所以，设球心为点，则为的中点，连接，、分别为、的中点，则，且，设过点的平面为
7、，设球心到平面的距离为.当时，；当不与平面垂直时，.综上，.设过点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径为，则，因此，所求截面圆的面积的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求证：.【详解】（1）解：由已知，得，即，解得：或（舍去），（2）证明：左边右边因此，原式得证.18已知正方体，棱长为2，为棱的中点，为面对角线的中点，如图.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取的中点分别为，连接，因为，分别为，的中点，是正方体，易得平
8、面，所以；因为，所以，所以，所以，所以，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）以为原点，分别以、方向为轴、轴、轴正方向，建立如下图所示空间直角坐标系：连接，在正方体中，易知，且为中点，所以.又，所以.因为，平面，平面，所以平面，故为平面的一个法向量；由是正方体，得平面，故为平面的一个法向量，则平面与平面所成锐二角面的余弦值为.19魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方体结构，由个色
9、块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度(秒) 与训练天数(天)有关，经统计得到如下数据：（天）（秒）现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒(精确到) ?参考数据（其中）参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规
10、定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望.【详解】（1）由题意，根据表格中的数据，可得，可得，所以，因此关于的回归方程为：，所以最终每天魔方还原的平均速度约为秒（2）由题意，可得随机变量的取值为，可得，所以的分布列为所以.20已知椭圆：的左、右焦点分别为，短轴长为，点在椭圆上，轴，且（1）求椭圆的标准方程；（2）将椭圆按照坐标变换得到曲线，若倾斜角为的直线与曲线相切且与椭圆相交于，两点，求的值【详解】解：（1）由己知可得，则椭圆的标准方程为：（2）由则曲线，设，由直线与圆相切，则，当时，由，设，则，且恒成立则同理，当时，综上：21已知函数.（1）求曲
11、线在点处的切线方程；（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.【详解】（1）由题意知，因为，所以，所以所求切线方程为，即；（2）由（1）知，因为是的两个不同的极值点，所以，是方程的两个根，可得，易得，所以，因为可得，所以，在单调递减，所以在上单调递减，从而的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最值【详解】解：（1）由曲线：，由，则曲线的普通方程为，由：，则，则直线的直角坐标方程为（2）方法1：设：，由，由，则：，则与的距离，由，则点到直线的距离，综上：点到直线距离的最大值为，最小值为方法2：设点，则，由，则，则综上：点到直线距离的最大值为，最小值为23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）解不等式；（2）若的最小值为，且正实数，满足，求的最小值【详解】解：（1）由，当，由当，由（舍）当，由综上：或，即不等式的解集为 （2）由（1）当时，当时，当时，所以，即，则，由由,当且仅当时取等号，当时，原式取最小值为.
