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1、2021年浙江省高考数学试题一选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D2. 已知，(i为虚数单位)，则（ ）A. B. 1C. D. 3【答案】C3. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. 3C. D. 【答案】A5. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B6. 如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）A. 直线与直线垂直，直线平面B. 直线与直线平行，直线平面C. 直线
2、与直线相交，直线平面D. 直线与直线异面，直线平面【答案】A7. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D8. 已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C9. 已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（ ）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线【答案】C10. 已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A二填空题11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图
3、所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则_.【答案】2512. 已知，函数若，则_.【答案】213. 已知多项式，则_，_.【答案】 (1). ; (2). .14. 在中，M是的中点，则_，_.【答案】 (1). (2). 15. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则_，_.【答案】 (1). 1 (2). 16. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_.【答案】 (1). (2). 17. 已知平
4、面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为_.【答案】三解答题18. 设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，由可得，所以当即时，函数取最大值.19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证，可证，由题意可得，易证，从而平面，即有，从而得证；（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法
5、向量，即可根据线面角的向量公式求出【详解】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由题意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系, 则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出20. 已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，
6、记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.【详解】（1）当时，当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.【点睛】易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.21. 如图，已
7、知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与AB两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程.（2）设，联立直线方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.（2）设，所以直线，由题设可得且.由可得，故，因为，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，则且，故，故即，解得或或.故直线在轴上的截距的范围为或
8、或.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.22. 设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；(2)；(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价
9、转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.【详解】(1)，若，则，所以在上单调递增；若，当时，单调递减，当时，单调递增.综上可得，时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为.(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，令，则，记，记，又，所以时，时，则在单调递减，单调递增，.即实数的取值范围是.(3)有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，又由知，要证，只需，且关于的函数在上单调递增，所以只需证，只需证，只需证，只需证在时为正，由于，故函数单调递增，又，故在时为正，从而题中的不等式得证.
