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1、 第1页（共30页） 2021 年七年级下期末数学备考之新定义年七年级下期末数学备考之新定义 一解答题（共一解答题（共 19 小题）小题） 1如图，数轴上两点 A、B 对应的数分别是1，1，点 P 是线段 AB 上一动点，给出如下 定义：如果在数轴上存在动点 Q，满足 PQ2，那么我们把这样的点 Q 表示的数称为连 动数，特别地，当点 Q 表示的数是整数时我们称为连动整数 （1）3，0，2.5 是连动数的是 3，2.5 ； （2）关于 x 的方程 2xmx+1 的解满足是连动数，求 m 的取值范围 4m2 或 0m2 ； （3） 当不等式组的解集中恰好有 4 个解是连动整数时， 求 a 的取值
2、范围 【分析】 （1）根据连动数的定义即可确定； （2）求得方程的解，根据新定义得出或，解得即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于 a 的不等式，解不等式即可求得 【解答】解： （1）3，0，2.5 是连动数的是3，2.5， 故答案为3，2.5； （2）解关于 x 的方程 2xmx+1 得，xm+1， 关于 x 的方程 2xmx+1 的解满足是连动数， 或， 解得4m2 或 0m2； 故答案为4m2 或 0m2； （3） 由得，x3； 由得，xa+1， 第2页（共30页） 不等式组的解集中恰好有 4 个解是连动整数时， 四个连动整数解为2，1，1，2， 2a+13， 1a2
3、a 的取值范围是 1a2 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得 到不等式组是解题的关键， 2阅读材料： 平面直角坐标系中点 P（x，y）的横坐标 x 的绝对值表示为|x|，纵坐标 y 的绝对值表示为 |y|，我们把点 P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点 P（x，y）的折线距离， 记为P，即P|x|+|y|，其中的“+”是四则运算中的加法，例如点 P（1，2）的折线距 离P|1|+|2|3 【解决问题】 （1）已知点 A（2，4） ，B（+，） ，直接写出 A、B 的折线距离A，B； （2）若点 M 满足M2， 当点 M 在 x 轴的上方时，且
4、横坐标为整数，求点 M 的坐标； 正方形 EFGH 的两个顶点坐标分别为 E（t，0） ，F（t1，0） ，当正方形 EFGH 上存 在点 M 时，直接写出 t 的取值范围 【分析】 （1）根据题意可以求得A，B的折线距离； 第3页（共30页） （2）根据题意可知 y0，然后根据M2，即可求得点 M 的坐标； 由题意可得 EF1，由正方形的性质可列不等式，即可求解 【解答】解： （1）点 A（2，4） ，B（+，） ， A|2|+|4|2+46，B|+|+|+2； （2）点 M 在 x 轴的上方，其横坐标为整数，且M2， x1 时，y1 或 x0 时，y2， 点 M 的坐标为（1，1）或（1，
5、1）或（0，2） ； 正方形 EFGH 的两个顶点坐标分别为 E（t，0） ，F（t1，0） ， EF1， 若 M（1，1）在正方形 EFGH 上时， t11t， 1t0， 若 M（1，1）在正方形 EFGH 上时， t11t， 1t2， 若 M（2，0）在正方形 EFGH 上时， t12t， 2t3， 若 M（2，0）在正方形 EFGH 上时， t12t， 2t1， 综上所述：t 的取值范围为2t0 或 1t3 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，求 出相应的点的坐标 3如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组 的关联
6、方程 例如：方程 2x60 的解为 x3，不等式组的解集为 2x5，因为 23 5，所以，称方程 2x60 为不等式组的关联方程 第4页（共30页） （1） 在方程5x100， x+10， 2x （3x+1） 5 中， 不等式组 的关联方程是 ； （填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 x+20 ； （写出一个即可） （3）若方程 5x2x+2，3+x2（x+）都是关于 x 的不等式组的关联方程， 求 m 的取值范围 【分析】 （1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一
7、次方程即可得； （3）解不等式组得出 mxm+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数 解的确定可得答案 【解答】解： （1）解不等式组得x3， 解得：x2，23，故是不等式组的关联方程； 解得：x，不在x3，故不是不等式组的关联方程； 解得：x6，不在x3，故是不不等式组的关联方程； 故答案为：； （2）解不等式组得：x 因此不等式组的整数解可以为 x2， 则该不等式的关联方程为 x+20 故答案为：x+20 （3）解不等式组，得：mxm+2 方程 5x2x+2 的解为 x1，方程 3+x2（x+）的解为 x2， ， 解得 0m1， 第5页（共30页） m 的取值范围为 0m1 【
8、点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练一元一次不等式的步骤是解答此题的关键 4在平面直角坐标系 xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点给出如下定义：对于任 意两个整点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，M 与 N 的“直角距离”记为 dMN，dMN|x1x2|+|y1 y2| 例如，点 M（1，5）与 N（7，2）的“直角距离”dMN|17|+|52|9 （1）已知点 A（4，1） 点 A 与点 B（1，3）的“直角距离”dAB 7 ； 若点 A 与整点 C（2，m）的“直角距离”dAC8，则 m 的值为 3 或 1 ； （2）小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是
9、正南正北，正东正 西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格小 明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示） 为了做好社区消防，需要在 某个整点处建一个消防站 P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最 小目前该社区内有两个火警高危点，分别是 D（2，1）和 E（2，2） 若对于火警高危点 D 和 E，消防站 P 不仅要满足上述条件，还需要消防站 P 到 D，E 两个点的 “直角距离” 之差的绝对值最小， 则满足条件的消防站 P 的坐标可以是 （1， 1） （写出一个即可） ，所有满足条件的消防站 P 的位置共有 8 个； 在设计过程中，如果社
10、区还有一个火警高危点 F（4，2） ，那么满足与这三个火警高 危点的“直角距离”之和最小的消防站 P 的坐标为 （2，1） 【分析】 （1）根据直角距离的定义直接解答即可； 根据直角距离的定义直接解答即可； （2）先根据直角距离的定义求出直角距离 DE，PD 和 PE 的长，根据它们之差的绝对 值最小求出点 P 的坐标，确定点 P 的个数； 第6页（共30页） 首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为 10，再求出消防站 P 点的坐标即可 【解答】解： （1）A（4，1） ，B（1，3） ， 直角距离 dAB|41|+|13|7； 根据题意可得 dAC|4+2|+|1m|8，即
11、|1+m|2， 1+m2 或2， 解得：m1 或3； 故答案为：7；1 或3； （2）D（2，1） ，E（2，2） ， 直角距离 dDE|22|+|12|4+37， 点 P 到 D，E 两个点的“直角距离”之和最小值为 7， 点 P 到 D，E 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小， ，或， 点 P 的坐标可以是（0，0）或（0，1）或（1，1） ， 满足条件的消防站 P 点的位置如图所示， 满足条件的消防站 P 点的位置共有 8 个； 故答案为（1，1） ；8； 如图， 第7页（共30页） D（2，1） ，E（2，2） ，F（4，2） ， |4（2）|6，|2（2）|4， 满足到这三个火警高
12、危点的“直角距离”之和最小值为 6+410， 消防站 P 的坐标为（2，1） ， 故答案为： （2，1） 【点评】此题主要考查了坐标与图形，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键 5 小聪和小明在学习了平面直角坐标系后， 感受到平面直角坐标系对研究数学问题的价值， 产生了强烈的兴趣于是尝试着定义了平面直角坐标系 xOy 中任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的一种新的距离： 小聪定义了 P1，P2的“分解距离” ，如下： 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2） 若|x1x2|y1y2|，则|x1x2|为点 P1与点 P2的“分解距
13、离” ，即 d分解（P，Q）|x1 x2|； 若|x1x2|y1y2|，则|y1y2|为点 P1与点 P2的“分解距离” ，即 d分解（P，Q）|y1 y2| 小明定义了 P1，P2的“和距离” ，如下： 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（1，y1）与 P2（x2，y2） 点 P1，P2的“和距离”为|x1x2|与|y1y2|的和，即 d和（P，Q）|x1x2|+|y1y2| 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系 xOy 中， 第8页（共30页） （1）已知点 A（2，1） ，则 d分解（A，O） 2 ；d和（A，O） 3 ； （2）若点 B（x，4x）在第一象限，且
14、点 d分解（B，O）3求点 B 的坐标； （3）若点 C（x，y） （x0，y0） ，且点 d和（C，O）3写出符合题意的三个点 C 的坐标，并在图 1 中描出相应的点，并观察图形，判断这些点是否在一条直线上 若点 E，F 满足 d分解（E，O）d和（F，O）3，请分别画出并描述所有符合条件的 点 E 围成的图形和点 F 围成的图形，并直接写出两个图形重合部分的面积 【分析】 （1）先求出|xAxO|20|2，|yAyO|10|1，即可得出结论； （2）先判断出 0 x4，再用 d分解（B，O）3，建立方程求解，即可得出结论； （3）先求出|xCxO|x0|x，|yCyO|y0|y，进而用 d
15、和（C，O）3，得出 x+y3，即可得出结论； 同的方法得出|m|3 或|n|3，|a|+|b|3，最后分类讨论，即可得出结论 【解答】解： （1）A（2，1） ， |xAxO|20|2，|yAyO|10|1， 21， d分解（A，O）2，d和（A，O）2+13， 故答案为：2，3； （2）点 B（x，4x）在第一象限， 0 x4， |xBxO|x0|x，|yByO|4x0|4x， d分解（B，O）3， x3 或 4x3， 第9页（共30页） x3 或 x1， B（3，1）或（1，3） ； （3）如图 1，点 C（x，y） （x0，y0） ， |xCxO|x0|x，|yCyO|y0|y， d和
16、（C，O）3， x+y3， yx+3， y0， x+30， x3， 即 0 x3， 当 x1 时，y2， C1（1，2） ， 当 x2 时，y1， C2（2，1） ， 当 x3 时，y0， C3（3，0） ， 如图 1 所示，点 C1，C2，C3在直线 yx+3（0 x3）上； 如图 2，设点 E（m，n） ， d分解（E，O）3， |m|3 或|n|3， m3 或 n3（边为红色的正方形是所有符合条件的点 E 围成的图形） ， 设 F（a，b） ， d和（F，O）3， |a|+|b|3（边为蓝色的正方形是所有符合条件的点 F 围成的图形） ， 当 a0，b0 时，a+b3， ba+3， 第10页（共30页） 当 a0，b0 时，ab3， ba3， 当 a0，b0 时，a+b3， ba+3， 当 a0，b0 时，ab3， ba3， 所有符合条件的点 E 围成的图形和点 F 围成的图形的重合部分的面积为 （3+3） （3+3）18 【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义，判断点在直线上的方法，用方程和 分类讨论的思想解决问题是解本题的关键 6在平面直角坐标系中，若 P、Q 两点的坐
