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1、李 凌 均 郑州大学振动工程研究所 2021年6月,第二章 人工智能的数学基础,第二章 人工智能的数学基础,人工智能的数学基础有：逻辑学、概率论、模糊理论。,逻辑,经典命题逻辑,一阶谓词逻辑,2.1 命题逻辑与谓词逻辑 2.2 多值逻辑 2.3 概率论 2.4 模糊理论,非经典逻辑,多值逻辑、模糊逻辑,模态逻辑、时态逻辑,具有真假意义,本章内容：,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,2.2.1. 命题 一个具有真假意义的陈述句，称为命题。命题通常用大写的英文字母P，Q，R等来表示,命题是具有或真或假的含义的。如果一个命题的真值为真则用T(或1)表示，若为假则用F(或0)表示
2、 下面的例子均是命题： (1) 郑州大学是一所综合性大学。（T） (2) 2+2=5 （F）。 (3) 今天是个好天气。（T） (4) 每一个奇数都是素数。（F）,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,下面的例子都不是命题： (1) 现在是几点钟？(疑问句） (2) x-y2（其真假值随x、y的变化而变化，不能确定。） (3) 我在说假话。（悖论，真作假时假亦真，假作真时真亦假） (4) 请安静！（祈使句）,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,命题逻辑的局限性： 在命题逻辑中我们研究的最小单位是句子,
3、即命题，它无法把所要描述的客观事物的结构及逻辑关系反映出来。也无法把不同对象的共同特征表述出来。很多问题仅用命题逻辑是解决不了的、表达不清的。由此发展了谓词逻辑。,2.1.2.谓词：在谓词逻辑中引入谓词来表示命题。一个谓词分为谓词名和个体2部分，谓词用于描述个体的性质、状态或个体之间的关系。个体就是要被描述的某个独立存在的事物或某个抽象的概念。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,例1：张华是大学生。其中“张华”是个体，“是大学生”是谓语。于是我们可引入一个谓词S（x)来表示x是大学生，张华代以x就表示张华是大学生。 S（x)涉及到一个变元，称为
4、一元谓词，一元谓词表示个体的属性。 例2：张华比李玲高。其中“张华”和“李玲”是个体，“比高”是谓词，因为涉及到两个个体，所以我们可以用一个二元谓词G（x,y)表示x高于y,将张华代以x,李玲代以y,则表示张华比李玲高。若用李玲代以x,张华代以y,则表示李玲高于张华。也就是说谓词中客体变元的顺序一经定义就不能随意改变了。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,有多个变元的谓词称为多元谓词，多元谓词表示多个客体之间的关系。 谓词中的个体可以是常量，也可以是变元或函数。 谓词的语义是由使用者定义的，一旦被定义意义就明确。 当谓词中的变元全部用特定的个体
5、取代时，谓词就有了确定的真值T or F。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,连接词 象在整数或实数集合上可以进行+，-，*，/运算一样，在命题集合上也可以进行运算，形成新的命题。常用的命题运算符亦称为连接词有: ：非 ：合取(与)， ：析取(或)， ：条件或蕴涵， ：双条件(当且仅当),2.1 命题逻辑与谓词逻辑,2.1.3. 谓词公式：,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,逻辑连接词非“”：如果P是一个命题，那麽P是一个命题，它的真值是这样定义的：P真(1)， P假； P假(0)， P真。可以用如下的一个所谓真值表来表示
6、： 这里应该注意的是 P是对整个命题P的否定，而不是对命题P的部分成分否定。 是一个一元逻辑连接词。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,逻辑连接词合取“”：如果P是一个命题，Q是一个命题，那麽P Q是一个命题，它的真值是这样定义的：当且仅当P和Q同时为真时， P Q的值为真，其余情况均为假。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,其真值表如右： “”是一个二元逻辑连接词。这是一个复合命题，可以读作合取或“和”、“and”。,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,例如令P：曹老师是教授。 Q：王晓离散数学不及格。 则P Q：曹老师是教授并
7、且王晓离散数学不及格 注意这两件事在日常生活中可能是毫不相干的事情，但在命题逻辑中是有意义的，即P和Q的真值定下来，P Q的真值就可求。 再例如令P：今天是晴天。 Q：欢欢是大熊猫。 于是P Q：今天是晴天并且欢欢是大熊猫。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,逻辑连接词析取“”:如果P是一个命题，Q是一个命题，那麽P Q是一个命题，并且它的真值是这样定义的：当且仅当P和Q同时为假的时候 P Q的值才为假，否则其值为真。其真值表如下：,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,“”可以读作析取也可以读作“或” 、“or” ，它是个二元逻辑连接词。但它仅代表日常
8、生活中的可兼容或，不代表排斥或。,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,例如令P：今天下午3点我去讲课。 Q：今天下午3点我去游泳。 日常生活中可能会说，今天下午3点我去讲课或今天下午3点我去游泳。这里的或是一种排斥或(也称异或），不能使用逻辑连接词“”来表示，也就是说不能用 P Q：来表示今天下午3点我去讲课或今天下午3点我去游泳。但下面的例子可以用析取来表示。 P：李明在教室。 Q：王鹏去公园。于是P Q表示：李明在教室或王鹏去公园。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,逻辑连接词单条件“”：如果P是一个命题，Q是一个命题，
9、那麽P Q是一个命题，表示P蕴涵Q，即：如果P，则Q。P成为条件的前件，Q成为条件的后件。它的真值是这样定义的：,当且仅当前件为真后件为假的时候， P Q的值才为假，其余情况均为真。其真值表如右：,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,例如令P：今天有雨。 Q：我带雨伞。 于是P Q ：如果今天有雨，那麽我带雨伞。如果我们指定P为真代表今天有雨，那麽P为假表示今天没有雨，指定Q真为我带雨伞，那麽我没带雨伞为 Q假。现在我们来分析上面真值表的各种情况： 1、P=0，Q=0即今天没雨，我没带雨伞。 P Q =1即成功。 2、 P=0， Q=1即今天没雨
10、，我带雨伞。 P Q =1也成功（带雨伞也没错）,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,3、 P=1， Q=0, P Q =0即今天有雨，我没带雨伞，挨淋，失败。 4、 P=1， Q=1, P Q =1即今天有雨，我带雨伞。成功。 由上面的例子可以看出， P Q真值的规定是符合常规逻辑的。再看一个例子 令P：学生不听话。（并指派为真）Q：老师管教学生。（并指派为真）于是P=0，Q=0 ，P Q：如果学生听话，那麽老师不管教学生，,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,没毛病，所以P Q=1。 P=0，
11、Q=1，P Q：如果学生听话，那麽老师管教学生。也没毛病，P Q=1； P=1， Q=0， P Q：如果学生不听话，那麽老师不管教学生。失败，所以P Q=0； 最后一种情况：P=1 ，Q=1， P Q：如果学生不听话，那麽老师管教学生。没毛病P Q=1。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,逻辑连接词双条件“”：如果P是一个命题，Q是一个命题，那麽P Q是一个命题，它的真值是这样定义的：,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,当且仅当P和Q同号时P Q的值为真，否则为假。其真值表如下：,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,Q：老师管教学
12、生。于是P Q表示老师管教学生当且仅当学生不听话。 单条件和双条件逻辑连接词均是二元逻辑连接词。只要P，Q的真值定下来，P当且仅当Q的值就可以定下来。,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,逻辑连接词异或“”：如果P是一个命题，Q是一个命题，那麽P Q是一个命题，并且它的真值是这样定义的，当且仅当P和Q同号时， P Q的值为假否则为真。由定义我们可以看出，异或和逻辑连接词双条件“”有如下的关系： P Q （PQ）,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,量词,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,在把实际问题符号化
13、的过程中，我们会遇到那样的短语： 1、所有的;任何一个;每一个all of 2、有一个;有一些;存在一个some of 我们使用量词进行符号化，谓词逻辑中引入两个量词来表达 全称量词（用来表示）表示所有（或任一个） 存在量词（用来表示）表示存在（有某个）,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,例：用谓词逻辑符号化下列命题： 所有的整数都是有理数；有些整数是素数； 定义谓词：I(x) :x是整数 Q(x) :x是有理数 S(x) :x是素数 于是上述命题可符号化为： （x)(I(x) Q(x); (x)(I(x) S(x).,2.1 命题逻辑与谓词逻辑,郑州大学振动工程研究所
14、电话 037167881792,谓词公式（把实际问题符号化，公式化） 命题演算的公式称为合式公式，又称命题公式，合式公式可按下列规则生成： (1)单个谓词是合式公式，称为原子谓词公式。 (2)如果A是合式公式，则A是合式公式。 (3)如果A和B是合式公式，那麽AB，AB，AB，AB是合式公式。 (4)当且仅当有限次使用(1)、(2)、(3)条规则、由圆括号、逻辑连接词所组成的有意义的字符串是合式公式。 (5)若A是合式公式，x是个体变元。则(x)A和(x)A也是合式公式。,2.1.4.谓词公式及谓词公式的解释,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,根据上面的定义可以看出下面的
15、字符串均是合式公式： P， P，P Q， P （PQ）， P （PQ） R， （P Q） （P Q）。 而下面的字符串则不是合式公式： P ， R， P ，（PQ） 逻辑连接词的运算优先级为： 、 、 、 、 ,括号优先。 把一个实际问题符号化为一个命题公式的步骤如下： 1.确定给定的句子是否为命题。 2.找出各原子命题并确定句子中的连词对应的逻辑连结词。 3.用正确的语法把原命题表示成由原子命题、连结词和圆括号组成的合式公式。,2.1.4.谓词公式及谓词公式的解释,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,例1：符号化下列命题： 他既聪明又用功。他虽聪明但不用功。 解：令P：他
16、聪明 Q：他用功 于是P Q：表示他既聪明又用功。 P Q：表示他虽聪明但不用功。 例2：符号化下列命题： 老骥自知夕阳晚，无须扬鞭自奋蹄。 解：令P：老骥自知夕阳晚 Q：无须扬鞭自奋蹄 P Q：老骥自知夕阳晚，无须扬鞭自奋蹄。,2.1.4.谓词公式及谓词公式的解释,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,谓词公式的解释： 在命题逻辑中，对命题公式中各个命题变元的一次真值指派称为命题公式的一个解释。不同的变元真值赋值得到不同的命题公式解释，一个解释对应一个命题公式的真值。 看下面的例子。,2.1.4.谓词公式及谓词公式的解释,郑州大学振动工程研究所 电话 037167881792,设个体域D1,2,求公式A(x) (y)P(x,y)在D上的解释，并指出在每一种解释下公式A的真值。 指派一组真值：P(1,1)=T,P(1,2)=F, P(2,1)=T,P(2,2)=F,这是其中的一个解释，在此解释下，x=1和x=2时分别有P(1,1)和 P(2,1)=T，即对于个体域中的所有x都有y使得P(x,y)=T,所以在这种解释下公式A的值为T。 还可以指派另外一组真值： P(1,
