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1、专题01探求规律题考纲要求:探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论基础知识回顾: 1数字猜想型：在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题2数式规律型：通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容3图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对应思想和数形结合4数形结合猜想型：首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，
2、再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系5动态规律型：要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律应用举例:类型一、数字猜想型【例1】一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是_【答案】41【解析】23有3、5共2个奇数,33有7、9、11共3个奇数,43有13、15、17、19共4个奇数，63共有6个奇数，到63“分裂”出的奇数为止，一共有奇数：2+3+4+5+6=20，又3是第一个奇数，第20个奇数为20
3、2+1=41，即63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是41.故答案为：41.类型二、数式规律型【例2】观察下面三行数 （1）第行数的第n个数是 .（2）请将第行数中的每一个数分别减去第行数中对应位置的数,并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第行数的第n个数是 ； 同理，直接写出第行数的第n个数是 .（3）取每行的第k个数，这三个数的和能否等于-509?如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由.【答案】（1）(-2)n；（2）(-2)n+2；-(-2)n+1；（3）能；k=9.【解析】【分析】（1）第一组，各数后一项是前一项的-2倍，（2）第二组，各数依次相加了+6，-12，+24，-48，+
4、96,总结规律得第n个数是(-2)n+2，同理，第三组第n个数是-(-2)n+1，（3）根据前两问将第k个数表示出来，解关于k的方程即可。【详解】（1）(-2)n；（2）(-2)n+2；（3）能；(-2)k+(-2)k+2+-(-2)k+1=-509，所以(-2)k=-512，解得k=9.类型三、图形规律型：【例3】把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有4个三角形，第个图案中有6个三角形，第个图案中有8个三角形，按此规律排列下去，则第个图案中三角形的个数为（ ）A 12 B 14 C 16 D 18【答案】C【解析】【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n
5、个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.类型四、数形结合猜想型：【例4】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是_，点A2018的坐标是_【答案】（6，0）（0，2016）【解析】【详解】解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，2），A3（3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6
6、（0，6），A7（7，1），A8（1，9），A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，（4n+2），A4n+3=（4n+3），1）5=4+1，2016=5044+2，A5的坐标为（64+2，0）=（6，0），A2016的坐标为（0，2016）故答案为：（6，0）；（0，2016）类型五、动态规律型：【例5】如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90至图位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2017次若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（）A2017B2034C3024D3026【答案
7、】D【解析】考点：1轨迹；2矩形的性质；3旋转的性质；4规律型；5综合题方法、规律归纳: 数字规律：标序数(1，2，3，n)；找规律，观察：当所给的一组数字是整数时：A.数字与序数的关系；B.数字的符号规律，若为正负号交替，则用或表示符号；代数式规律：标序数(1，2，3，n)；找规律，观察：A.系数、代数式字母的指数与序数的关系；B.符号规律方法同“数字规律”时.图形规律：(1)基础图形固定累加：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，n”；数图形个数：数出每组图形的个数；寻找第n项(某项)的个数与序数n的关系：将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察累加个数，然后按照定量
8、变化推导出关系式；验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确(2)基础图形递变累加：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，n”；数图形个数：数出每组图形的个数；寻找第n项(某项)的个数与序数n的关系：将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作商来观察图形个数；或将图形个数与n进行对比，寻找是否是与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系；验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确实战演练:1、根据以下图形变化的规律，第2016个图形中黑色正方形的数量是_【答案】3024【解析】第1个图形中黑色正方形的个数是2个，第2个图形中黑色正方形的个数是3个，第3个图形中黑色正方形的个数是5个，第4个图
9、形中黑色正方形的个数是6个，第5个图形中黑色正方形的个数是8个，第6个图形中黑色正方形的个数是9个，由此可知当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的个数为个 ，当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的个数是个，故第2016个图形中黑色正方形的数量是3024个.2. 在一列数：a1，a2，a3，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（）A1B3C7D9【答案】B【解析】试题分析：依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7；周期为6；20176=3361，所以a2017=a1=3故
10、选B考点：规律型：数字的变化类学科！网3. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P的坐标是_【答案】( 2017 , 1 ) 4. 观察下列格式：请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数） （写出最简计算结果即可）【答案】【解析】试题分析：n=1时，结果为：；n=2时，结果为：；n=3时，结果为：；所以第n个式子的结果为：故答案为：5. 已知a0，S1=，S2=S11，S3=，S4=S31，S5=，（即当n为大于1的奇数时，Sn=
11、；当n为大于1的偶数时，Sn=Sn11），按此规律，S2018=_【答案】- 【解析】【分析】根据Sn的变化规律，得出Sn的值每6个为一个循环，由2018=3366+2，可知S2018= S2.【详解】由已知可得：S1=，S2=-，S3=-，S4=-，S5=-（a+1）, S6=a, S7=根据Sn的变化规律，得出Sn的值每6个为一个循环，因为，2018=3366+2，所以，S2018= S2=-.故答案为：-6.观察下列各式：，请利用你所得结论，化简代数式（n3且为整数），其结果为_【答案】 【解析】7.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得
12、到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，1），P5（2，1），P6（2，0），则点P2017的坐标是 【答案】（672，1）【解析】8. 观察下列各式及其验证过程：，验证：，验证：（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a2）表示的等式，并给出验证；（3）用a（a为任意自然数，且a2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程【答案】（1）见解析；（2），验收见解析；（3）见解析【解析】（1），,验证：（2）由（1）中的规律可知3=221，8=321，15=421，验证:（3） （a为任意自然数，
13、且a2），验证： 9. 图是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层.将图倒置后与原图拼成图的形状,这样我们可以算出图中所有圆圈的个数为1+2+3+n=.如果图和图中的圆圈都有13层. (1)我们自上往下，在图的每个圆圈中填上一串连续的正整数1，2，3，4，则最底层最左边这个圆圈中的数是_；(2)我们自上往下，在图每个圆圈中填上一串连续的整数23，22，21，20，求最底层最右边圆圈内的数是_；(3)求图中所有圆圈中各数之和.(写出计算过程)【答案】（1）79；（2）67；（3）2002.【解析】（1）当有13层时，前12层
14、共有：1+2+3+12=78个圆圈，78+1=79，故答案为：79；（2）图中所有圆圈中共有1+2+3+13=91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，故答案为：67；（3）图中共有91个数，分别为-23，-22，-21，66，67，图中所有圆圈中各数的和为：-23+（-22）+（-1）+0+1+2+67=2002.10. 观察下列等式：（1）第1个等式：a1=； 第2个等式：a2=；第3个等式：a3=； 第4个等式：a4=；用含有n的代数式表示第n个等式：an=_=_（n为正整数）；（2）按一定规律排列的一列数依次为，1， ， ， ， ，按此规律，这列数中的第100个数是_【答案】 (-) （2）【解析】试题分析:(1)观察可得等式的变化规律:分
