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1、考纲要求:1. 会用描点法画出二次函数的图像,理解二次函数的性质。2. 利用二次函数的性质解决简单的实际问题;能解决二次函数与其他知识结合的有关问题。基础知识回顾: 一、 二次函数的概念及解析式1一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常数,a0)的2、2函数,叫做二次函数2、二次函数解析式的三种形式(1)一般式:yax2bxc(a,b,c为常数,a0)(2)顶点式:ya(xh)2k(a,h,k为常数,a0),顶点坐标是(h,k)(3)交点式:ya(xx1)(xx2),其中x1,x2是二次函数与x轴的交点的横坐标,a0.二、 抛物线的平移1将抛物线解析式化成顶点式ya(xh)2k,顶点坐标为(
2、h,k)2保持yax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如来源:学.科.网三、二次函数与一元二次方程的关系1二次函数yax2bxc(a0),当y0时,就变成了一元二次方程ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是抛物线yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的横坐标 应用举例:招数一、利用 二次函数的增减性有关的问题时,简便的方法是结合图象,利用数形结合的思想直观地得出结论另外,解答本题也可以代入数值求出对应的函数值,从而进行大小比较【例1】若二次函数ymx2-6mx1(m0)的图像经过A(2,a),B(-1,b),C(3,c)三点,则a,b,c从小到大排列是_【答案
3、】acb【例2】若二次函数y2x24kx+1当xl时,y随x的增大而减小,则k的取值范围是_【答案】k1【解析】解:a=20,抛物线开口向上,二次函数y2x24kx+1的对称轴为直线xk,当xl时,y随x的增大而减小,k1,故答案为:k1学&科网【例3】下列关于二次函数的说法正确的是()A它的图象经过点B它的图象的对称轴是直线C当时,随的增大而减小D当时,有最大值为0【答案】C【解析】A. 它的图象经过点,A错误;B. 它的图象的对称轴是直线,B错误;C. 当时,随的增大而减小,正确;D. 当时,有最小值为0,D错误.故选:D招数二、利用二次函数的图象判断系数的关系 利用图象判定字母系数的关系
4、时,要先通过图象的开口方向确定出a的符号,根据对称轴的位置,确定b的符号或a与b的关系式,根据图象与y轴的交点确定出c的符号;然后通过a,b,c的符号确定有关a,b,c乘积式的符号,根据图象与x轴的交点个数确定b24ac的符号;最后结合图象上的特殊值点确定有关a,b,c的算式的符号此类问题【例3】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,下列结论中:abc0;9a3b+c0;b24ac0;ab,正确的结论是_(只填序号)【答案】【例4】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1对于下
5、列说法:ab0;2a+b=0;3a+c0;a+bm(am+b)(m为实数);当1x3时,y0,其中正确的是()A B C D【答案】A根据图示知,当m=1时,有最大值;当m1时,有am2+bm+ca+b+c,所以a+bm(am+b)(m为实数)故正确如图,当1x3时,y不只是大于0故错误故选:A招数三、 设二次函数解析式的形式一般遵循以下方法:若已知二次函数上三个点的坐标,则选择一般式;若已知二次函数的顶点坐标,则选择顶点式;若已知二次函数与x轴的交点坐标,则选择交点式需要注意的是,作为解答题,最后结果要化为一般式【例6】已知抛物线的顶点为(1,3),且过点(2,1),求这个函数的表达式为_【
6、答案】y=4x28x+1【例7】如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)、(3,0)和(0,2),当x=2时,y的值为_【答案】2【解析】试题分析:首先设二次函数的解析式为:y=a(x-3)(x+1),将(0,2)代入可得:,则二次函数的解析式为:y=,则当x=2时,y=2【例8】经过(1,2.6),(4,5),(2,3)三点的二次函数的表达式是_来源:Zxxk.Com【答案】y=0.2x20.2x+2.6【解析】设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把(1,2.6),(4,5),(2,3)代入得,解得,所以抛物线解析式为y=0.2x2-0.2x+2.6故答案为y=0.2x2-
7、0.2x+2.6方法、规律归纳:一、 当抛物线的顶点坐标已知或容易求出时,可选用顶点式 来求其解析式,此时只需根据另外的条件求出 , ,然后回代,并把它化为一般式即可. 此外,应注意这种情况的变式,即在题设条件中,若涉及对称轴或对称轴易于求出时,也可选用顶点式来求其解析式.二、当时,在对称轴的左侧,随的增大而减小,在对称轴的右侧,随的增大而增大;当时,在对称轴的左侧,随的增大而增大,在对称轴的右侧,随的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值,判定其增减性时,常将二次函数的一般式 (为常数)配方,转化为顶点式求解.也可以利用顶点坐标公式来求解.必须注意:在对称轴的两侧,二次函数的增减
8、性完全相反.实战演练:1、已知抛物线,如图所示,下列命题:;对称轴为直线;抛物线经过,两点,则;顶点坐标是(,其中真命题的概率是()A B C D1【答案】C真命题的概率故选C2. 已知二次函数 y=4x2+4x-1,当自变量x取两个不同的值x1,x2时,函数值相等,则当x取时的函数值为( )A-1 B-2 C2 D1【答案】B3、抛物线 (是常数)的顶点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4、将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后,所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是()A(0,3)或(2,3) B(3,0)或(1,0)C(3,3)或(1,3) D(3,
9、3)或(1,3)【答案】D【解析】解:抛物线y= x2+2x+3=,顶点坐标(-1,2),再向下平移3个单位得到的点是(-1,-1).可得新函数的解析式为y=,当y=3时候,即:=3,得:,解得:x=1或x=-3,抛物线与直线y=3的交点坐标为(1,3)或(-3,3),故选D. 学&科网 5、某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售量单价是 元/时,才能在半月内获得最大利润6、二次函数yax2+bx+c(a0,a、b、c为常数)的图象如图所示,则方程a
10、x2+bx+cm有实数根的条件是()Am4 Bm0 Cm5 Dm6【答案】A【解析】【分析】利用函数图象,当m4时,直线ym与二次函数yax2+bx+c有公共点,从而可判断方程ax2+bx+cm有实数根的条件【详解】抛物线的顶点坐标为(6,4),即x6时,二次函数有最小值为4,当m4时,直线ym与二次函数yax2+bx+c有公共点,方程ax2+bx+cm有实数根的条件是m4故选:A 7、如图,在平面直角坐标系中,A(-2,-1),B(-1,-1),若抛物线与线段AB有交点,则的取值范围是_.【答案】8、如图,已知两直线l1,l2分别经过点A(1,0),点B(3,0),且两条直线相交于y轴的正半
11、轴上的点C,当点C的坐标为(0,)时,恰好有l1l2,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F,D为抛物线的顶点(1)求抛物线的函数解析式;(2)试说明DG与DE的数量关系?并说明理由;(3)若直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当MCG为等腰三角形时,请直接写出点M的坐标抛物线的函数解析式为;(3)若直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当MCG为等腰三角形时,分三种情况:以G为圆心,GC为半径画弧交抛物线于点M1、C,点M1与C关于抛物线的对称轴对称,则M1的坐标为(2,);以C为圆心,GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3,点M2与点A重
12、合,点A、C、G在一条直线上,不能构成三角形,M3与M1重合;作线段GC的垂直平分线,交抛物线于点M4、M5,点M4与点D重合,点D的坐标为(1,),M5与M1重合;综上所述,满足条件的点M只有两个,其坐标分别为(2,),(1,)9、如图,已知抛物线过点A(3,0),B(2,3),C(0,3),其顶点为D(1)求抛物线的解析式;(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;10、如图,四边形ABCO为矩形,点A在x轴上,点C在y轴上,且点B的坐标为(2,1),将此矩形绕点O逆时针旋转90得矩形DEFO,抛物线y=-x2+bx+c过B、E两点.(1)求此抛物线的函数解析式.(2)将矩形DEFO向右平移,当点E的对应点E在抛物线上时,求线段DF扫过的面积.(3)若将矩形ABCO向上平移d个单位长度后,能使此抛物线的顶点在此矩形的边上,求d的值.【答案】(1);(2)平行四边形DDFF的面积为;(3) 平移的距离或.如图,由平移可知DF扫过的面积为平行四边形DDFF的面积.来源:学.科.网Z.X.X.K当点E向右平移后的对应点E在抛物线上时,有,则,解得,E(),来源:Z,xx,k.Com平行四边形DDFF的面积为. ,抛物线的顶点坐标为(),B(2,1),平移的距离或.学&科网