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1、【中考数学几何变形题归类辅导】专题1:构造等边三角形【典例引领】例:在菱形ABCD中,ABC=60,E是对角线AC上一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF。(1)若E是线段AC的中点,如图1,易证:BE=EF(不需证明);(2)若E是线段AC或AC延长线上的任意一点,其它条件不变,如图2、图3,线段BE、EF有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;并选择一种情况给予证明。【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析【分析】首先构造全等三角形,过点E作EGBC,可得到AGE是等边三角形,就可证出BGEECF,进而得出BE=EF【解答】证明:(2)图2:BE=EF图3:BE=EF图
2、2证明如下:过点E作EGBC,交AB于点G四边形ABCD为菱形AB=BC又ABC=60ABC是等边三角形 AB=AC ACB=60 又EGBC AGE=ABC=60 又BAC=60 AGE是等边三角形 AG=AE,BG=CE又CF=AE GE=CF又BGE=ECF=120 BGEECF(SAS) BE=EF图3证明如下:过点E作EGBC交AB延长线于点G四边形ABCD为菱形 AB=BC 又ABC=60 ABC是等边三角形 AB=AC ACB=60 又EGBC AGE=ABC=60又BAC=60AGE是等边三角形AG=AE BG=CE又CF=AEGE=CF AGE =ECF=60 BGEECF(
3、SAS)BE=EF【强化训练】1如图,ABC中,AB=BC,BDAC于点D,FAC=12ABC,且FAC在AC下方点P,Q分别是射线BD,射线AF上的动点,且点P不与点B重合,点Q不与点A重合,连接CQ,过点P作PECQ于点E,连接DE(1)若ABC=60,BP=AQ如图1,当点P在线段BD上运动时,请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系;如图2,当点P运动到线段BD的延长线上时,试判断中的结论是否成立,并说明理由;(2)若ABC=260,请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时,能使(1)中的结论仍然成立(用含的三角函数表示)【答案】(1)DE=12AQ,DEAQ,理由见解
4、析; EAQ,DE=12AQ,理由见解析;(2)AQ=2BPsin,理由见解析.【分析】(1)先判断出ABC是等边三角形,进而判断出CBP=CAQ,即可判断出BPCAQC,再判断出PCQ是等边三角形,进而得出CE=QE,即可得出结论;同的方法即可得出结论;(2)先判断出,PAQ=90ACQ,BAP=90ACQ,进而得出BCP=ACQ,即可判断出进而判断出BPCAQC,最后用锐角三角函数即可得出结论【解答】(1)DE=12AQ,DEAQ,理由:如图1,连接PC,PQ,在ABC中,AB=AC,ABC=60,ABC是等边三角形,ACB=60,AC=BC,AB=BC,BDAC,AD=CD,ABD=CB
5、D=12BAC,CAF=12ABC,CBP=CAQ,在BPC和AQC中,BC=ACCBP=CAQBP=AQ,BPCAQC(SAS),PC=QC,BPC=ACQ,PCQ=PCA+AQC=PCA+BCP=ACB=60,PCQ是等边三角形,PECQ,CE=QE,AD=CD,DE=12AQ,DEAQ;DEAQ,DE=12AQ,理由:如图2,连接PQ,PC,同的方法得出DEAQ,DE=12AQ;(2)AQ=2BPsin,理由:连接PQ,PC,要使DE=12AQ,DEAQ,AD=CD,CE=QE,PECQ,PQ=PC,易知,PA=PC,PA=PE=PC以点P为圆心,PA为半径的圆必过A,Q,C,APQ=2
6、ACQ,PA=PQ,PAQ=PQA=12(180APQ)=90ACQ,CAF=ABD,ABD+BAD=90,BAQ=90,BAP=90PAQ=90ACQ,易知,BCP=BAP,BCP=ACQ,CBP=CAQ,BPCAQC,BPAQ=BCAC=BC2CD,在RtBCD中,sin=CDBC,AQBP=2CDBC=2sin,AQ=2BPsin2如图,在RtABC中,ACB=90,A=30,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60,得到线段PQ,连接BQ(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系(2)如图2
7、,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若BPO=15,BP=4,请求出BQ的长【答案】(1)BQ=CP;(2)成立:PC=BQ;(3)43-4【分析】(1)结论:BQ=CP如图1中,作PHAB交CO于H,可得PCH是等边三角形,只要证明POHQPB即可;(2)成立:PC=BQ作PHAB交CO的延长线于H证明方法类似(1);(3)如图3中,作CEOP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF设CE=CO=a,则FC=FP=2a,EF=3a,在RtPCE中,表示出PC,根据PC+CB=4,可得方程(6+
8、2)a+2a=4,求出a即可解决问题;【解答】解:(1)结论:BQ=CP理由:如图1中,作PHAB交CO于H在RtABC中,ACB=90,A=30,点O为AB中点,CO=AO=BO,CBO=60,CBO是等边三角形,CHP=COB=60,CPH=CBO=60,CHP=CPH=60,CPH是等边三角形,PC=PH=CH,OH=PB,OPB=OPQ+QPB=OCB+COP,OPQ=OCP=60,POH=QPB,PO=PQ,POHQPB,PH=QB,PC=BQ(2) 成立:PC=BQ理由:作PHAB交CO的延长线于H在RtABC中,ACB=90,A=30,点O为AB中点,CO=AO=BO,CBO=6
9、0,CBO是等边三角形,CHP=COB=60,CPH=CBO=60,CHP=CPH=60,CPH是等边三角形,PC=PH=CH,OH=PB,POH=60+CPO,QPO=60+CPQ,POH=QPB,PO=PQ,POHQPB,PH=QB,PC=BQ(3) 如图3中,作CEOP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CFOPC=15,OCB=OCP+POC,POC=45,CE=EO,设CE=CO=a,则FC=FP=2a,EF=3a,在RtPCE中,PC=PE2+CE2 =(2a+3a)2+a2 =(6+2)a,PC+CB=4,(6+2)a+2a=4,解得a=42-26,PC=43-4,由(2
10、)可知BQ=PC,BQ=43-43在菱形ABCD中,ABC=60,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置随点P的位置变化而变化.(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是 ,CE与AD的位置关系是 ;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理). (3) 如图4,当点P在线段BD的延长线上时,连接BE,若AB=23 ,BE=219 ,求四边形ADPE的面积. 【答案】(1)BP=CE; CEAD;(2)成立,理由见解析;(3)83
11、.【分析】(1)连接AC,证明ABPACE,根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE;根据菱形对角线平分对角可得ABD=30,再根据ABPACE,可得ACF=ABD=30,继而可推导得出CFD=90 ,即可证得CEAD;(2)(1)中的结论:BP=CE,CEAD 仍然成立,利用(1)的方法进行证明即可;(3)连接AC交BD于点O,CE,作EHAP于H,由已知先求得BD=6,再利用勾股定理求出CE的长,AP长,由APE是等边三角形,求得PH, EH的长,再根据S四ADPE=SADP+SAPE,进行计算即可得.【解答】(1)BP=CE,理由如下:连接AC,菱形ABCD,ABC=60,ABC是等
12、边三角形,AB=AC,BAC=60,APE是等边三角形,AP=AE ,PAE=60 ,BAP=CAE,ABPACE,BP=CE; CEAD ,菱形对角线平分对角,ABD=30,ABPACE,ACF=ABD=30,ACD=ADC=60,DCF=30,DCFADC=90,CFD=90 ,CFAD ,即CEAD;(2)(1)中的结论:BP=CE,CEAD 仍然成立,理由如下: 连接AC,菱形ABCD,ABC=60,ABC和ACD都是等边三角形,AB=AC,BAD=120 ,BAP=120DAP,APE是等边三角形,AP=AE , PAE=60 ,CAE=6060DAP=120DAP,BAP=CAE,
13、ABPACE,BP=CE,ACE=ABD=30, DCE=30 ,ADC=60,DCEADC=90 , CHD=90 ,CEAD,(1)中的结论:BP=CE,CEAD 仍然成立; (3) 连接AC交BD于点O,CE,作EHAP于H,四边形ABCD是菱形, ACBD,BD平分ABC ,ABC=60,AB=23,ABO=30 ,AO=3 , BO=DO=3,BD=6,由(2)知CEAD,ADBC,CEBC,BE=219 , BC=AB=23,CE=(219)2(23)2=8,由(2)知BP=CE=8,DP=2,OP=5,AP=52(3)2=27,APE是等边三角形,PH=7 , EH=21,S四ADPE=SADP+SAPE,S四ADPE=12DPAO+12APEH,=1223+122721=3+73=83,四边形ADPE的面积是83 .4已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A在x轴的负半轴上,直线