《中考数学——动态问题之动点折叠类问题中函数及其综合题型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学——动态问题之动点折叠类问题中函数及其综合题型（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题05 动点折叠类问题中函数及其综合题型一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. （1）函数中的折叠问题主要考查
2、对函数性质的把握及综合运用知识的能力.（2）综合题型此类题目困难重重，以2019年安徽省中考第10题而言，充分体现了数学思想的表达，解题中用到的有最短路径、三角函数、所求变量的变化规律等等，充分体现了新课标对考查学生数学素养的要求.通过研究历年中考真题并结合2019年各省（市）的中考真题，特总结出此专题. 期望能给各位老师及同学以学习教学一些启发，一些指引，培养出学生的解题素养.二、精品例题解析 题型一：折叠综合题型例1.（2019安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（）A.0 B.4 C.6 D.8
3、【分析】当P在边AD上运动时，根据轴对称知识，求出PE+PF的最小值及其变化规律，进而与9进行比较，得出结论.【答案】D. 【解析】解：作点E关于AD的对称点E，连接EF，交AD于P，此时PE+PF的值为最小，最小值为EF的长，如下图所示，过F作FHEE于H，EE交AD于点G，由题意知：AE=EF=FC=4，四边形ABCD是正方形，AC为对角线，FFH=ACB=45，FH=EH=EG=EG=EF=，在RtHFE中，由勾股定理得：EF=,当点P在点A处时，PE+PF=129，当点P在D点时，连接BD交AC于点O，如下图所示，OD=6，OE=2，在RtPEO中，由勾股定理得：PE=,PE+PF=，
4、综上所述，当点P在AD上运动时，PE+PF的值的变化规律为从12逐渐减小至，后增大至，在这个变化过程中，有两个P点使得PE+PF=9，在正方形ABCD边上有8个点符合要求，故答案为：D.题型二：折叠与相似例2.（2019济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB8，AD10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMNDAM，设AMx，DNy写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；是否存在这样的点M，使DMN是等腰三角形？若存在，请求
5、出x的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由翻折并利用勾股定理构建方程即可解决问题（2）由ADMGMN，可得，由此即可解决问题有两种情形：当MNMD时，当MNDN时. 分别求解即可解决问题【答案】见解析.【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC10，ABCD8，BBCD90，由翻折可知：ADAF10DEEF，设ECm，则DEEF8m在RtABF中，由勾股定理得：BF6，CFBCBF1064，在RtEFC中，由勾股定理得：（8m）2m2+42，解得：m3，EC3（2）如下图中，ADCG，CG6，BGBC+CG16，在RtABG中，由勾股定理得：AG8，在RtDCG中，由勾股定
6、理得：DG10，ADDG10，DAGAGD，DMGDMN+NMGDAM+ADM，DMNDAM，ADMNMG，ADMGMN，整理得：当x4时，y有最小值，最小值为2存在当MNMD时，MDNGMD，DMNDGM，DMNDGM，MNDM，DGGM10，xAM810当MNDN时，过M作MHDG于HMNDN，MDNDMN，DMNDGM，MDGMGD，MDMG，BHDG，DHGH5，由GHMGBA，可得，MG,xAM综上所述，满足条件的x的值为810或题型三：折叠与全等例3.（2019临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将ADE沿AE所在的直线折叠得到AFE，延
7、长EF交BC于G,连接AG，作GHAG，与AE的延长线交于点H，连接CH，显然AE是DAF的平分线，EA是DEF的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180的角平分线），并说明理由. 【答案】见解析.【解析】解：四边形ABCD是正方形，AD=AB，D=B=90，由折叠知：ADEAFE，AD=AF=AB，AFG=90，在RtAGB和RtAGF中，AG=AG，AF=AB，RtAGBRtAGF，6=7，3=4，即AG是BAF的平分线，GA是BGF的平分线；AGH=90，6+HGC=90，7+EGH=90，HGC= EGH，即GH是EGC的平分线；过H作HNBM于N，1=2，3=
8、4，1+2+3+4=90，GAH=2+3=45，AG=GH，ABGGNH，NH=BG，GN=AB=BC，GNGC= BCGC,即BG=CN=NH，HCN=45，DCH=45，即CH是DCM的平分线.题型四：折叠与反比例函数例4.（2019衢州）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，平行四边形的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，将AOD沿轴翻折，使点落在轴上的点处，点恰好为的中点，与交于点.若图象经过点，且，则的值为 .【答案】24.【解析】解：由题意知：AB=CD=3BE，SBEF= SOBF=1ABCD为平行四边形，即ABCD，BF：FC=BE：CD=1:3， 连接OC，OF，如下
9、图所示，则SOBF：SOFC=BF：FC=1：3,SOBC=4，SOBC：SODC=OB：CD=1：3,SODC=12，k=24，故答案为：24.题型五：几何图形中动点折叠问题例5.（2019衡阳）如图，在等边ABC中，AB6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为以t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，
10、请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小？并求出最小值【答案】见解析.【解析】解：（1）ABC是等边三角形，B60，当BQ2BP时，BPQ90，即6+t2（6t），解得：t3，故t3时，BPQ是直角三角形（2）存在理由：如下图，连接BF交AC于MBF平分ABC，BABC，BFAC，AMCM3cm，EFBQ，EFMFBCABC30，EF2EM，t2（3t），解得t3（3）如下图，作PKBC交AC于KABC是等边三角形，BA60，PKBC，APKB60，AAPKAKP60，APK是等边三角形，PAPK，
11、PEAK，AEEK，APCQPK，PKDDCQ，PDKQDC，PKDQCD（AAS），DKDC，DEEK+DK（AK+CK）AC3（cm）（4）如下图，连接AM，ABBMCM3，ABAC，AMBC，由勾股定理得：AM，根据两点之间线段最短，得：ABAMMB，即AB3，故AB的最小值为3题型六：函数图象中动点折叠问题例6.（2019湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC，OA=3，tanOAC=，D是BC的中点.（1）求OC的长和点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、D
12、、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长.【答案】见解析【解析】解：（1）OA=3，tanOAC=，在RtAOC中，tanOAC=，OC=，ABCD是矩形，BC=OA=3，又D是BC的中点，CD=,即D的坐标为（，）（2）由tanOAC=，知：OAC=30，ACB=OAC=30，若DBF折叠后，B的落点为B由折叠性质，知：DB=DB=DC，BDF=BDF，DBC=ACB=30
13、，BDB=60，BDF=30，在RtBDF中，BF=BDtan30=，AB=，AF=BF=,在BFD和AFE中，BFD=EFA，B=FAE=90，AF=BF，BFDAFE，AE=BD=即OE=OA+AE=，故E点坐标为（，0）由题意知：F点横坐标不变为3，而DFB=60，即G点与F点的连线与y轴平行，即G点横坐标不变，所以G点运动轨迹为一条线段，求出P点从O点至M点运动过程中，G点的纵坐标的差即为G点运动路径的长.当P点在O点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax2+bx，将点D（，）, B（3，）代入解析式，可得：，解得：，即抛物线解析式为：令y=0，得，即E（，0），设直线DE的解析式为：y
