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1、专题09 动点类题目图形最值问题探究题型一：矩形中的相似求解例1.（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M、N分别在边AB、CD上，点E、F分别在边BC、AD上，MN、EF交于点P. 记k=MN:EF.（1）若a：b的值为1，当MNEF时，求k的值.（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值.（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，MPE=60，MP=EF=3PE时，求a：b的值.【分析】（1）当a：b=1时，可得四边形ABCD为正方形，由MNEF，可证MN=EF，即k=1；（2）先确定MN和EF的取值范围，当MN取最大值，EF取最小值时，k的值最大，否则反之；（3）根据
2、N是矩形顶点，分两种情况讨论，即N分别与D点和C点重合，依据不同图形求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）当a：b=1时，即AB=BC，四边形ABCD是矩形，四边形ABCD是正方形，过F作FGBC于G，过M作MHCD于H，如下图所示，MNEF，NMH=EFG，MHN=FGE=90，MH=FG，MNHFEG，MN=EF，即k=1；（2）由题意知：b=2a，所以得：aEF，2aMN,所以当MN取最大值，EF取最小值时，k取最大值，为；当MN取最小值，EF取最大值时，k取最小值，为；（3）如下图所示，连接FN，ME，设PE=x，则EF=MP=3x，PF=2x，MN=3EF=9x，PN=6x，又FP
3、N=MPE，FPNEPM，PFN=PEM，FNME，当N点与D点重合时，由FNME得，M点与B点重合，过F作FHBD于H，MPE=60，PFH=30，PH=x，FH=，BH=BP+PH=4x，DH=5x，在RtDFH中，tanFDH=，即a:b=;当N点与C点重合时，过过点E作EHMN于H，连接EM，则PH=x，EH=，CH=PC+PH=13x， 在RtECH中，tanECH=，MEFC，MEB=FCB=CFD，B=D，MEBCFD，=2,即a:b=;综上所述，a:b的值为或.题型二：二次函数中几何图形最值求解例2.（2019衡阳）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和
4、点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数解析式求解；（2）由POECBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；（3）过点M作MHy轴交BN于点H，由SMNBSBMH
5、+SMNH即可求解【答案】见解析.【解析】解：（1）抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0），解得：，抛物线函数关系表达式为yx22x3；（2）由题意知：ABOA+OB4，在正方形ABCD中，ABC90，PCBE，OPE+CPB90，CPB+PCB90，OPEPCB，又EOPPBC90，POECBP，设OPx，则PB3x，OE，当时，即OP=时线段OE长有最大值，最大值为（3）存在如图，过点M作MHy轴交BN于点H，N点坐标为（0，3），设直线BN的解析式为ykx+b，直线BN的解析式为yx3，设M（m，m22m3），则H（m，m3），MHm3（m22m3）m2+3m，SMNBSB
6、MH+SMNH，a时，MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为（）题型三：二次函数中面积最值的求解例3.（2019自贡）如图，已知直线AB与抛物线相交于点A（-1,0）和点B（2,3）两点.（1）求抛物线C函数表达式；（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）把A（-1,0），B（2
7、,3）代入抛物线得：解得抛物线的函数表达式为：y=x2+2x+3（2）A（-1,0），B（2,3），直线AB的解析式为：y=x+1，如下图所示，过M作MNy轴交AB于N，设M(m,m2+2m+3)，N(m,m+1)，（-1m2）MN=m2+m+2，SABM=SAMN+SBMN=SABM=，当时，ABM的面积有最大值，而SMANB=2SABM=，此时（3）存在，点理由如下：抛物线顶点为D，则D（1,4），则顶点D到直线的距离为，设、，设P到直线的距离为PG.则PG=，P为抛物线上任意一点都有PG=PF，当P与顶点D重合时，也有PG=PF.此时PG=，即顶点D到直线的距离为，PF=DF=，PG=P
8、F，PG2=PF2，整理化简可得0x=0，当时，无论取任何实数，均有PG=PF.题型四：反比例函数中面积最值的求解例4.（2018扬州一模） 如图1，反比例函数y= （x0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，BAC=75，ADy轴，垂足为D（1）求k的值；（2）求tanDAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线lx轴，与AC相交于点N，连接CM，求CMN面积的最大值图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（2，1）代入反比例函数y，k2；（2）由（1）知，反比例函数解析式
9、为y，点B（1，a）在反比例函数y的图象上，a2，点B（1，2）过B作BEAD于E，如下图所示，则AEBE21ABEBAE45又BAC75，DAC30DCtan30AD2，OC1，即C（0，1）设直线AC的解析式为ykx+b，解得直线AC的解析式为yx1（3）设M（m，），N（m，m1）则MN（m1）m+1，SCMN（m+1）mm2+m+（m）2+当m时，CMN的面积有最大值，最大值为.题型五：反比例函数中面积最值的求解例5.（2019达州）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c过点A(1,0)，B(3,0).（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（CAO+C
10、DO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，BMP和EMN的面积分别为m、n，求mn的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）把点（1，0），（3，0）代入yx2+bx+c，得，解得b2，c3，yx22x+3（x+1）2+4，此抛物线解析式为：yx22x+3，顶点C的坐标为（1，4）；（2）由（1）知：抛物线对称轴为x1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，H（1，0），在RtCHO中，CH4，OH1，tanCOH4，COHCAO+ACO，当ACOCDO时，tan（CAO+CDO）tanCOH4，如下图所示，
11、当点D在对称轴左侧时，ACOCDO，CAOCAO，AOCACD，AC，AO1，AD20，OD19，D（19，0）；当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x1的对称点D的坐标为（17，0），点D的坐标为（19，0）或（17，0）；（3）设P（a，a22a+3），设直线PA的解析式为：y=kx+b，将P（a，a22a+3），A（1，0）代入ykx+b，解得，ka3，ba+3，y（a3）x+a+3，当x0时，ya+3，N（0，a+3），如下图所示，m=SBPMSBPAS四边形BMNOSAON，n=SEMNSEBOS四边形BMNO，mnSBPASEBOSAON4（a22a+3）331（a+3）2（a+）2
12、+，当a时，mn有最大值.题型六：二次函数中最值及最短路径题型例6.（2019绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，ABD的面积为5（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值【答案】见解析.【解析】解：（1）由平移知，
13、平移后得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，OA=1，点A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a-2=0，得：a=，抛物线的解析式为，即令y=0，解得x1=-1，x2=3，B（3，0），AB=OA+OB=4，ABD的面积为5，SABD=AByD=5yD=，解得x1=-2，x2=4，D（4，），设直线AD的解析式为y=kx+b，解得：，直线AD的解析式为：y=x+.（2）过点E作EMy轴交AD于M，如下图所示，设E（a，a2a），M（a，a+），ME=a2+a+2，SACE=SAMESCME=（a23a4）=（a）2+，当a=时，ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（，）（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FHAE于点H，交轴于点P，AG=，EG=，,AGE=AHP=90sinEAG=，PH=AP，E、F关于x轴对称，PE=PF，PE+AP=FP+HP=FH，此时FH最小，EF=，AEG=HEF，sinAEG=sinHEF=F
