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1、【中考数学几何变形题归类辅导】专题2：倍长中线法【典例引领】例题：（2014黑龙江龙东地区）已知ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BDm于E，CFm于F。（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=12CF。（不需证明）（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。【答案】（2）证明见解析【分析】图2，连接DM并延长交FC的延长线于K，可证DBMKCM，再利用三角形中位线即可得出结论。图3同图2证明相同。【解答】（2）图2的结论为:ME=12(BD+CF)图3的结论为:ME
2、=12(CF-BD)图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K又BDm,CFmBDCFDBM=KCM又DMB=CMKBM=MCDBMKCMDB=CKDM=MK由易证知:EM=12FKME=12(CF+CK)=12(CF+DB)图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K又BDm,CFmBDCFMBD=KCM又DMB=CMKBM=MCDBMKCMDB=CKDM=MK由易证知:EM=12FKME=12(CF-CK)= 12(CF-DB)【强化训练】1、（2017黑龙江龙东地区）已知：AOB和COD均为等腰直角三角形，AOB=COD=90，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH。（1）
3、如图1所示，易证OH=AD且OHAD（不需证明）（2） 将COD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。【答案】（2）证明见解析【分析】（1）只要证明AODBOC，即可解决问题；如图2中，结论：OH=AD，OHAD延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，由BEOODA即可解决问题；如图3中，结论不变延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G由BEOODA即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，OAB与OCD为等腰直角三角形，AOB=COD=90，OC=OD，OA=OB，在AOD与BOC中，AODBOC（SAS），ADO=B
4、CO，OAD=OBC，点H为线段BC的中点，OH=HB，OBH=HOB=OAD，又因为OAD+ADO=90，所以ADO+BOH=90所以OHAD（2）解：结论：OH=AD，OHAD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证BEOODAOE=ADOH=OE=AD由BEOODA，知EOB=DAODAO+AOH=EOB+AOH=90，OHAD如图3中，结论不变延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G易证BEOODAOE=ADOH=OE=AD由BEOODA，知EOB=DAODAO+AOF=EOB+AOG=90，AGO=90OHAD2在ABC中，AB=BC，点O是AC的中
5、点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当ABC=90时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CFAE|=2，EF=23，当POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长【答案】（1）OF =OE；（2）OFEK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为6-2或233.【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明AOECOK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长E
6、O交CF于K，由已知证明ABEBCF，AOECOK，继而可证得EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OFEK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【解答】（1）如图1中，延长EO交CF于K，AEBE，CFBE，AECK，EAO=KCO，OA=OC，AOE=COK，AOECOK，OE=OK，EFK是直角三角形，OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，ABC=AEB=CFB=90，ABE+BAE=90，ABE+CBF=90，BAE=CBF，AB=BC，ABEBCF，BE=CF，AE=BF，AOECOK，AE=CK，OE=OK，FK
7、=EF，EFK是等腰直角三角形，OFEK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PHOF于H，|CFAE|=2，EF=23，AE=CK，FK=2，在RtEFK中，tanFEK=33，FEK=30，EKF=60，EK=2FK=4，OF=12EK=2，OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在RtPHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=23，OP=12+2-32=6-2.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，POF=PFO=30，BOP=90，OP=33OE=233，综上所述：OP的长为6-2或233.3.已知：点P是平行四边形ABCD对角线
8、AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点。（1） 当点P与点O重合时，如图1，易证OE=OF（不需证明）（2） 直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明。【答案】（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，图3中的结论为：CF=OEAE，证明见解析【分析】（1）由AOECOF即可得出结论（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明EOAGOC，OFG是等边三角形，即可解决问
9、题图3中的结论为：CF=OEAE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似【解答】（1）AEPB，CFBP，AEO=CFO=90，在AEO和CFO中，AOECOF，OE=OF（3） 图2中的结论为：CF=OE+AE图3中的结论为：CF=OEAE选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，AEBP，CFBP，AECF，EAO=GCO，在EOA和GOC中，EOAGOC，EO=GO，AE=CG，在RTEFG中，EO=OG，OE=OF=GO，OFE=30，OFG=9030=60，OFG是等边三角形，OF=GF，OE=OF，OE=FG，CF=FG+CG，CF=OE+AE选图3的结论证明如下：延长EO
10、交FC的延长线于点G，AEBP，CFBP，AECF，AEO=G，在AOE和COG中，AOECOG，OE=OG，AE=CG，在RTEFG中，OE=OG，OE=OF=OG，OFE=30，OFG=9030=60，OFG是等边三角形，OF=FG，OE=OF，OE=FG，CF=FGCG，OE=OF4如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，
11、请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由【答案】（1）CM=EM，CMEM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.【分析】（1）延长EM交AD于H，证明FMEAMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可【解答】（1）如图1，结论：
12、CM=EM，CMEM理由：ADEF，ADBC，BCEF，EFM=HBM，在FME和BMH中，EFMMBHFMBMFMEBMH，FMEBMH，HM=EM，EF=BH，CD=BC，CE=CH，HCE=90，HM=EM，CM=ME，CMEM（2）如图2，连接AE，四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，FDE=45，CBD=45，点B、E、D在同一条直线上，BCF=90，BEF=90，M为BF的中点，CM=12BF，EM=12BF，CM=ME，EFD=45，EFC=135，CM=FM=ME，MCF=MFC，MFE=MEF，MCF+MEF=135，CME=360-135-135=90，CMME（3）如图3，连接CF，MG，作MNCD于N，在EDM和GDM中，DEDGMDEMDGDMDM，EDMGDM，ME=MG，MED=MGD，M为BF的中点，FGMNBC，GN=NC，又MNCD，MC=MG，MD=ME，MCG=MGC，MGC+MGD=180，MCG+MED=180，CME+CDE=180，CDE=90，CME=90，（1）中的结论成立
