《利用Jacobi多项式实现Bézier曲面的显式约束降多阶》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用Jacobi多项式实现Bézier曲面的显式约束降多阶（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、利用 Jacobi 多项式实现 Bzier 曲面的显式约束降多阶利用 Jacobi 多项式实现 Bzier 曲面的显式约束降多阶周联 a,b 王国瑾* 通讯作者. Email 地址: wanggj/0. 王国瑾*a,ba 浙江大学数学系, 杭州 310027b 浙江大学 CAD&CG 国家重点实验室, 杭州 310027摘 要本文利用 Jacobi 多项式的表达形式及正交性质, 给出了张量积 Bzier曲面在范数下一次性降多阶的一个新算法. 在没有端点或边界约束的条件下, 它有以下三个优点:第一, 降阶曲面的控制顶点可用矩阵形式由一个显式来直接表出, 即降阶曲面的控制顶点可以由原曲面的控制顶点
2、和事先已经计算好并存于数据库的几个矩阵所决定, 因而计算简单且快捷;第二, 降阶逼近的误差可事先求出, 用于考察它是否小于用户所指定的公差, 从而避免了无效的降阶;第三, 本算法的精度是最佳的, 即不可改进的; 而在带约束的情形下, 降阶曲面也具有上面第一个优点, 同时还能保持降阶前后的两张曲面在四个角点处沿两个参数方向的高阶连续, 并保持两张拼接曲面分别降阶以后在相邻边界曲线处的连续. 本算法特别适用于由几张 Bzier 曲面拼接而成的一张复杂曲面的降多阶, 也适用于与曲面离散相结合的曲面降多阶. 数值例子表明, 本算法与已有算法相比, 不但功能更强, 而且计算更简单, 逼近效果更佳.关键词
3、 Bzier 曲面, 降多阶, 边界约束, 矩阵 , 显式, Jacobi 多项式, 分块矩阵1 引言 Bzier 曲面是计算机辅助设计/制造 CAD/CAM 系统中的主要造型工具Farin, 1991, 1995; Farin, Hoschek and Kim, 2002. 随着数字化技术的广泛使用,以不同阶数的参数曲面为基准所设计的不同的造型系统之间, 或者同一个造型系统中不同阶数的两种参数曲面之间, 其几何数据的交换与传递日见频繁. 因而需要对参数曲面实施降阶变换. 其次, 曲面的等距逼近和有理曲面的多项式逼近经常产生高阶曲面, 也需要用降阶算法来压缩几何信息 Farin, 2002;
4、Prautzsch, Boehm and Paluszny, 2001. 另外, 把曲面离散和降阶相结合, 还可化曲面求交为平面求交, 实现造型曲面的快速绘制 Farin, 2002 近年来, 国际上很多学者对曲线降阶已经作了广泛、深入的研究. 但迄今为止, 有关张量积 Bzier 曲面降阶的研究工作却屈指可数. EckEck 1994 曾给出了一种简单的曲面降阶算法, 其基本思想是根据曲面的张量积性质,从两个参数方向先后应用 Bzier 曲线的降阶技术. 陈发来等 Chen and Ding, 1993、周登文等 Zhou et al, 2002、胡事民 Hu et al, 1997 等分别
5、给出了 Bzier 曲面的各种降阶算法, 这些算法也都是 Bzier 曲线降阶算法向曲面形式的成功推广, 不过它们没有考虑曲面的一次性降多阶. 此后,陈国栋等 Chen and Wang, 2002 和郭清伟等Guo and Zhu, 2004 给出了一次性降多阶或带角点插值的曲面降阶方法. 然而这些方法仍或多或少地存在着局限性, 主要表现在降阶曲面的边界缺乏约束条件以及逼近精度不够高. 事实上,近年来, 产品质量的提升及加工工艺的革新已经对几何设计系统的功能提出了更高的要求,特别地,在曲面降阶方面, 要求一个理想的算法必须同时具备以下 6 个功能:1 能实现一次性降多阶?这是为了使算法简单并
6、杜绝累积误差;2 能保持与原始曲面在角点处沿两个参数方向的高阶连续, 并保持两张拼接曲面分别降阶以后在边界曲线处的位置连续?这是为了适应由几张 Bzier 曲面拼接而成的一张复杂曲面的降多阶, 或者适应与曲面离散相结合的曲面降多阶;3 降阶曲面用显式表达?这是为了使计算简单而快捷;4降阶逼近误差最小;5 降阶计算耗时最少;6 降阶逼近误差可在曲面降阶之前先验地求出?这是为了避免无效的降阶,因为一旦这个先验性的误差超过了用户指定的公差,就可预先取消对原曲面的降阶, 转而把曲面离散,再对子曲面分别降阶 我们发现,Jacobi 多项式的表达形式及正交性质, 非常适合用于同时满足曲面降多阶及边界约束这
7、两个要求, 更为降阶逼近的先验误差最小以及降阶曲面的显式表达提供了十分有利的条件. 基于这种思想, 本文利用 Jacobi 多项式与Bernstein 多项式相互转换的公式, 给出了张量积 Bzier 曲面在范数下显式降多阶的一个新算法. 在曲面的边界曲线及角点无约束的情形下, 本算法的精度是最佳的; 而在有约束的情形下, 降阶前后的两张曲面能保持在四个角点处沿每条边界线方向的高阶连续, 且任何两张拼接曲面分别降多阶以后能保持在公共边界曲线处的连续, 从而避免了一张分片连续的 Bzier 曲面在逐片降阶以后于拼接处有“裂痕”出现. 同时, 降阶操作的公式是简单的矩阵表示, 这些矩阵仅依赖于曲面
8、降阶前后的次数, 从而可被存储于数据库以备随时调用. 此外,用户可以预先检验曲面的降阶逼近误差是否在给定公差范围内, 再决定要不要降阶, 当先验误差大于公差, 可以直接应用与曲面离散相结合的降阶技术. 数值实验表明, 本文算法与文献 Chen and Wang, 2002 和 Guo and Zhu, 2004 中的方法相比,不但计算更简单,而且逼近效果更佳. 本文是如下安排的: 第 2 节对曲面的约束降阶问题进行描述; 第 3 节介绍 Jacobi 多项式的相关性质; 第 4 节研究不带任何约束条件的曲面降多阶方法, 给出降阶曲面控制顶点的显式表达、降阶的先验误差; 第 5 节研究带角点及边
9、界曲线约束的曲面降多阶并给出误差界; 第 6 节给出与其他方法的比较并用实例验证算法的有效性与优越性; 第 7 节给出结论.2 带角点及边界曲线约束的 Bzier 曲面降多阶问题的描述给定一组控制顶点, 可确定一张张量积次 Bzier 曲面, , 1其中为 Bernstein 多项式基函数.所谓对 1 式给出的 Bzier 曲面在范数下进行降多阶逼近, 是指找到另一张次 Bzier 曲面, ,使得距离函数所谓对 1 式给出的 Bzier 曲面在范数下进行带角点插值条件的降多阶,是指去找到满足距离函数为极小的那张 Bzier 曲面, 且降阶曲面与原曲面在四个角点处沿着每条边界线方向分别保持预先给
10、定的阶连续. 即存在四个角点处在两个参数方向分别需要满足的连续阶, , 使得所谓对 1 式给出的 Bzier 曲面在范数下进行带角点及边界曲线约束的降多阶逼近, 系指除了上面所讲的两个条件, 即距离函数为极小, 以及降阶曲面在四个角点处沿两个参数方向分别保持阶连续以外, 还须其四条边界曲线, , ; 恰为已知曲面的四条边界曲线在范数下带各自端点约束的降多阶逼近.Jacobi 多项式的相关知识 本文将应用 Jacobi 多项式的以下重要性质, 其中性质 1 引自 Borwein and Erdelyi, 1995, 性质 2 引自 Chen and Wang, 2002; Sunwoo, 200
11、4.性质 1. 一个次 Jacobi 多项式为关于权函数, , 的正交多项式, 即满足:这里 性质 2. Jacobi 多项式与 Berstein 多项式可以相互线性表出, 即有以下关系式:,或简单地记为,这里,不带角点及边界曲线约束的曲面显式最佳降多阶将 1 式写成矩阵形式这里利用第 3 节中 Jacobi 多项式的性质 2, 得到记根据性质 1, 容易知道在范数下, 曲面的无约束最佳降阶的逼近曲面为其降阶逼近误差为而如果用任何别的次曲面代替, 其逼近误差将明显增大 . 这表明, 此降阶逼近的误差不但是不可改进的, 而且可以在计算降阶曲面之前先验地求得. 这是本算法的两个优点.最后把曲面还原
12、为 Bzier 形式. 再次利用性质 2, 得到这里其中, 矩阵和分别表示单位矩阵和零矩阵, 是由的左列所构成的子矩阵, 是由的上行所构成的子矩阵.以上公式表明,对 1 式所示曲面的不带角点及边界曲线约束的最佳降多阶可用矩阵形式显式表示. 由于矩阵都可预先算好, 存储在计算机内备调用, 所以计算十分快捷. 这是本算法的第三个优点.带角点及边界曲线约束的曲面显式降多阶本节将实现 Bzier 曲面带角点及边界曲线约束的降多阶. 为此, 将在曲面降阶之前, 首先对它的四条边界曲线执行带端点约束的降多阶. 其基本原理Zhang and Wang, 2005 可概述如下:设, 为一条次 Bzier 曲线
13、, 为的在两端点具有阶与阶约束:, , 的最佳降阶的次 Bzier 曲线, 则的控制顶点可由以下矩阵形式显式求出:, 这里,且, , 其中, 矩阵是由次 Bernstein 基到同次幂基的转换矩阵; 矩阵是由次幂基到同次 Bernstein 基的转换矩阵.为了对原始次 Bzier 曲面在范数下一次性地向降阶, 向降阶, 且保持角点处连续并满足边界约束, 作为算法的第一步, 我们先对的四条边界曲线, , , , ,进行带端点阶插值的最优降多阶逼近,其中前两条降阶,后两条降阶; 它们的原始控制顶点分别记为, , ,今以曲线为例来说明边界曲线的这个降阶过程. 记降阶曲线及相应控制顶点为, ,假设降阶
14、前后两曲线在首末端点分别保持阶插值, 对应的降阶逼近误差函数和误差分别为和, 则我们有 2类似地, 对 1 式所示曲面的其他三条边界曲线, 记带相应端点插值条件的降多阶逼近曲线和控制顶点分别为, , ;, , ;再记上述降多阶逼近的相应误差函数和误差分别为,和, 则有:3 4 5下面执行本算法的第二步. 把欲求的降多阶逼近曲面的四条边界的控制顶点取定为. 再来确定此曲面的其它控制顶点. 为此, 首先定义四个矩阵 6 7 89根据 7 与 8, 容易知道 10根据 6, 7 与 9, 容易知道 11然后可写出恒等式这里, 12其中, 矩阵 13 或, 14满足等式;类似地有此外, 根据曲面边界曲
15、线的端点插值条件与 Bernstein 基的线性无关性, 我们可以得到下面的恒等式:, , ,15, , 16另一方面, 简单的计算可以导出,17其中 18若对于矩阵, , 定义运算, 再记 1920则 21应当指出, 17 式所表示的曲面是从曲面中去除其四条边界得来的. 而 又是从原始曲面减去其四条边界的最佳降多阶逼近得来的. 这样做的目的主要是体现本文的主导思想, 即把原始曲面降阶转化为边界降阶及曲面降阶这样两个步骤, 这里曲面是从上述剩余部分中去除其四条边界所获得的. 只要注意到 20 就不难理解这一点. 而其中的第一步在上面已经完成. 此外, 这样做的目的也是为了让曲面具有一个因子,
16、以便它在最佳降多阶前后保持边界曲线处的连续, 从而进一步保证原始曲面的降多阶逼近满足边界约束条件.下面来对曲面作最佳降阶逼近.根据性质 2, 有这里 22于是, 根据性质 1 中 Jacobi 多项式的正交性, 立即知道在范数下, 满足边界连续的、对曲面的最佳降阶逼近曲面是这里矩阵是分块矩阵23中位于左上角的一个子矩阵. 我们断言曲面是曲面的最佳降阶逼近, 乃是因为此降阶逼近在范数下的误差为而由性质 1 可知, 任何异于的次曲面, 其相应的降阶逼近误差都将大于.最后还需把曲面转换为 Bernstein 基形式. 再次利用性质 2, 得这里所以, 若记 24 25按 8 式可知矩阵 26从而由 10 式能得到矩阵, 且知 27进一步, 按 6 式及 11 式, 可以得到矩阵. 所以, 根据 2-6,8,10-14 及18-26 等公式, 我们最终得到了在范数下, 保持角点处连续并满足
