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1、1 / 24 2022 年高考数学复习之专题突破训练专题四：三角函数年高考数学复习之专题突破训练专题四：三角函数 考点卡片考点卡片 1平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的知识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 ，则： （1）| |cos； （2）0； （判定两向量垂直的充要条件） （3）当 ， 方向相同时，| | |；当 ， 方向相反时，| | |； 特别地：| |2或| |（用于计算向量的模） （4）cos（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） （5）| | | 2、平面向量数量积的运算律
2、 （1）交换律：； （2）数乘向量的结合律： （ ） （） （） ； （3）分配律： （） （） 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为（ ） 222 +2（ ） （ + ）2 2 （ ）（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相 同的，有些不一样 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： 2 / 24 “mnnm”类比得到“” “ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ； “t0，mtntmn”类比得到“” ； “|mn|m|n|”类比得到“| | |” ； “ （mn）tm（nt） ”类比得到“ （） ” ； “”类比得
3、到以上的式子中，类比得到的结论正确的是 解：向量的数量积满足交换律， “mnnm”类比得到“” ， 即正确； 向量的数量积满足分配律， “ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ， 即正确； 向量的数量积不满足消元律， “t0，mtntmn”不能类比得到“” ， 即错误； | | |， “|mn|m|n|”不能类比得到“| | |” ； 即错误； 向量的数量积不满足结合律， “ （mn）tm（nt） ”不能类比得到“ （） ” ， 即错误； 向量的数量积不满足消元律， ”不能类比得到， 即错误 3 / 24 故答案为： 向量的数量积满足交换律，由“mnnm”类比得到“” ；向量的数量积
4、满足分配 律，故“ （m+n）tmt+nt”类比得到“ （） ” ；向量的数量积不满足消 元律，故“t0，mtntmn”不能类比得到“” ；| | | |，故“|mn|m|n|”不能类比得到“| | |” ；向量的数量积不满足结合律，故 “ （mn）tm（nt） ”不能类比得到“ （） ” ；向量的数量积不满足消元 律，故”不能类比得到 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题 目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握 2象限角、轴线角象限角、轴线角 【知识点的认识】 在直角坐标系内讨论角 （1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始
5、边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第 几象限，就认为这个角是第几象限角 （2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 （3） 所有与角终边相同的角连同角在内， 可构成一个集合 S|+k360， kZ 【命题方向】 已知 是第二象限角，那么是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C第二或第四象限角 D第一或第三象限角 【分析】 用不等式表示 是第二象限角， 将不等式两边同时除以 2， 即得的取值范围 （用 不等式表示的） ，分别讨论当 k 取偶数、奇数时，所在的象限 解： 是第二象限角，2k+2k+，kz， k+k+，kz， 4 / 24 当 k 取偶数（如 0）时，是第一象
6、限角，当 k 取奇数（如 1）时，是第三象限角， 故选 D 【点评】本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想 【解题方法点拨】 （1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于 90的角是概念不同的三类角，第一 类是象限角，第二类、第三类是区间角 （2）角度制与弧度制可利用 180rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必 须一致，不可混用 （3）注意熟记 0360间特殊角的弧度表示，以方便解题 3弧长公式弧长公式 【知识点的认识】 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l， 圆心角大小为 （rad） ， 半径为 r， 则 lr， 扇形的面积为 Slrr2
7、 【命题方向】 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A2 B C2sin1 Dsin2 【分析】解直角三角形 AOC，求出半径 AO，代入弧长公式求出弧长的值 解：如图：AOB2，过点 0 作 OCAB，C 为垂足，并延长 OC 交 于 D， AODBOD1，ACAB1， RtAOC 中，AO， 从而弧长为 r， 故选 B 【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径 AO 的值，是解决问题的 关键 5 / 24 【解题方法点拨】 弧长和扇形面积的计算方法 （1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷 （2）从扇形面积出
8、发，在弧度制下使问题转化为关于 的不等式或利用二次函数求最值的 方法确定相应最值 （3）记住下列公式：lR；SlR；SR2其中 R 是扇形的半径，l 是弧长， （02）为圆心角，S 是扇形面积 4扇形面积公式扇形面积公式 【知识点的认识】 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l， 圆心角大小为（rad） ， 半径为 r， 则 lr， 扇形的面积为 Slrr2 【命题方向】 扇形的周长为 6cm，面积是 2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A1 B4 C1 或 4 D2 或 4 【分析】设出扇形的圆心角为 rad，半径为 Rcm，根据扇形的周长为 6 cm，面积是 2 cm2， 列出方程
9、组，求出扇形的圆心角的弧度数 解：设扇形的圆心角为 rad，半径为 Rcm， 则，解得 1 或 4 选 C 【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题 【解题方法点拨】 6 / 24 弧长和扇形面积的计算方法 （1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷 （2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的 方法确定相应最值 （3）记住下列公式：lR；SlR；SR2其中 R 是扇形的半径，l 是弧长， （02）为圆心角，S 是扇形面积 5任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义 【知识点的认识】 任意角的三角函数 1 定义
10、：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P（x，y） ，那么 sin y，cos x， tan 2几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余 弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0） 【命题方向】 已知角 的终边经过点（4，3） ，则 cos（ ） ABCD 【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cos 的值 解：角 的终边经过点（4，3） ，x4，y3，r5 cos， 故选：D 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题 【解题方法点拨】 利用三角函数的定义求三角函数值的方法 利用三角函数的定义，求
11、一个角的三角函数值，需确定三个量： （1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x； （2）纵坐标 y； （3）该点到原点的距离 r若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在 7 / 24 象限不同） 6三角函数的恒等变换及化简求值三角函数的恒等变换及化简求值 【概述】 三角函数的恒等变化主要是指自变量 x 数值比较大时， 如何转化成我们常见的数值比较 小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性 【公式】 正弦函数有 ysin（2k+x）sinx，sin（+x）sin（x）cosx 余弦函数有 ycos（2k+x）cosx，cos（x）sinx
12、正切函数有 ytan（k+x）tanx，tan（x）cotx， 余切函数有 ycot（x）tanx，cot（k+x）cotx 【例题解析】 例：sin60cos（45）sin（420）cos（570）的值等于 解：， ， ， 原式 先利用诱导公式把 sin（420）和 cos（570）转化成sin60和cos30，利用 特殊角的三角函数值求得问题的答案 这其实也就是一个化简求值的问题， 解题时的基本要 求一定要是恒等变换 【考点点评】 本考点是三角函数的基础知识， 三角函数在高考中占的比重是相当大的， 所有有必要认 真掌握三角函数的每一个知识点， 而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较
13、简单 的 7同角三角函数间的基本关系同角三角函数间的基本关系 【知识点的认识】 1同角三角函数的基本关系 8 / 24 （1）平方关系：sin2+cos21 （2）商数关系：tan 2诱导公式 公式一：sin（+2k）sin ，cos（+2k）cos_，其中 kZ 公式二：sin（+）sin_，cos（+）cos_，tan（+）tan 公式三：sin（）sin_，cos（）cos_ 公式四：sin（）sin ，cos（）cos_ 公式五：sin（）cos，cos（）sin 公式六：sin（+）cos，cos（+）sin 3两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（）：cos （）coscos
14、+sinsin； （2）C（+）：cos（+）coscossinsin； （3）S（+）：sin（+）sincos+cossin； （4）S（）：sin（）sincoscossin； （5）T（+）：tan（+） （6）T（）：tan（） 4二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2：sin 22sin_cos_； （2）C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2； （3）T2：tan 2 【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀： 对于角“” （kZ）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限” ， “奇变偶 不变”是指“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数
15、名不变” “符 号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时，原函数值的符号” 8三角函数三角函数中的恒等变换应用中的恒等变换应用 9 / 24 【知识点的认识】 1同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2+cos21 （2）商数关系：tan 2诱导公式 公式一：sin（+2k）sin ，cos（+2k）cos，tan（+2k）tan，其中 kZ 公式二：sin（+）sin，cos（+）cos，tan（+）tan 公式三：sin（）sin，cos（）cos，tan（）tan 公式四：sin（）sin ，cos（）cos，tan（）tan 公式五：sin（）cos，cos（）sin
16、，tan（）cot 公式六：sin（+）cos，cos（+）sin，tan（+）cot 3两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（）：cos （）coscos+sinsin； （2）C（+）：cos（+）coscossinsin； （3）S（+）：sin（+）sincos+cossin； （4）S（）：sin（）sincoscossin； （5）T（+）：tan（+） （6）T（）：tan（） 4二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S 2 ：sin 22sincos； （2）C 2 ：cos 2cos2sin22cos2112sin2； （3）T 2 ：tan 2 9运用诱导公式化简求值运用诱导公式化简求值 【知识点的认识】 利用诱导公式化简求值的思路 1 “负化正” ，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数 2 “大化小” ，利用公式一将大于 360的角的三角函数化为 0到 360的三角函数，利用 公式二将大于 180的角的三角函数化为 0到 180的三角函数 10 / 24 3 “小化锐” ，利用公式六将大于 90的角化为 0到 90的角的三角函数 4 “锐求值”
