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1、应用统计学,应用统计学是一门认识社会和自然的方法论科学。它采用统计方法对社会现象及自然现象总体数量特征方面进行研究。 应用统计学是管理类专业研究生的必修学位课程。,教学安排,学时14个单元，内容：,第一部分：随机变量与概率分布 （Chapt 6, 7) ；1.5个单元,第二部分：统计数据的整理、描述性指标，抽样分布 （Chapt 2, 3, )； 2个单元,第三部分：参数估计与假设检验 （Chapt 8) ； 3.5个单元,教学安排（续）,第五部分：时间序列分析（Chapt 5) ； 2.5个单元,考核,考试 50% 平时作业10%，大作业 30% 考勤 10%,第四部分：回归分析和相关分析（
2、Chapt 10) ； 2.5个单元,第一部分：随机变量与概率分布,一、基本概念,1、随机试验与随机事件,随机试验, 可在相同条件下重复进行, 每次试验出现一个且仅一个结果，结果不能够预 先断定。, 试验的所有可能结果已知，且不止一个结果。,随机试验的每一个可能的结果称为基本结果，记作。基本结果的全体组成的集合称为样本空间，记作。,随机事件是定义在样本空间上的一个子集合A 。,样本空间为必然事件，空集为不可能事件 。,例1 掷筛子，样本空间 = 1，2，3，4，5，6 随机事件A1= 掷得的点数大于4=5，6 随机事件A2= 掷得的点数为偶数=2，4，6,例2 随机抽查由甲、乙送检的产品的合格
3、情况， 样本空间 = (甲,合格), (甲,不合格), (乙,合格), (乙,不合格) 随机事件A1= 抽得不合格品=(甲,不合格), (乙,不合格),事件的关系及运算：,包含： A B 和 ： AB 交 ： AB = AB 差 ： A B 对立（逆）： A = 互斥（不相容）： AB=，A，B互斥时， AB记为A+B,关系：,运算的性质,A(BC)= (AB)C； (A B) C = A (B C),AB=BA,例3 设A，B，C为三个随机事件，试以A，B，C的运算表示 下列事件： 仅A发生； A，B，C中恰有一个发生；A，B，C中至少有 一个发生；A，B，C均不发生。,2、概率,古典概型：
4、,P(A)=A所包含基本结果的数量/所包含基本结果的数量 = n / N,几何概率：,试验概率：,主观概率：,概率的公理化定义： 设为上的随机事件组成的集合，P为定义在上的实函数，满足 P(A) 0，对任何A 成立； P() = 1；, 若A1, A2, , Am互不相容，有P(A1+ A2+)=P(A1)+P(A2)+.,3 条件概率,定义：设A、B为两个随机事件，且P(B)0， 称P(A|B)=P(AB)/P(B)为B发生条件下，A发生的条件概率。 乘法公式： P(AB) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A),4 随机事件的独立性,定义：若 P(AB) = P(A) P(
5、B) ，称随机事件A，B相互独立。,5 全概率公式与贝叶斯公式,设随机事件A1, A2, , Am互不相容，且P(Ai)0， 则对任何一事件B，有,发 射 台,接 收 台,A1 0 A 21,0 B1 1 B2,例4,0.8 0.2 0.1 0.9,设 P(A1)=0.6， P(A2)=0.4，求 P(A1|B1),1、随机变量,二、随机变量及其概率分布,随机试验,样本空间=1， 2，,随机事件A： 的子集,数值集合x1， x2，,随机 变量X,随机变量X的 某一个取值范围,随机变量：定义在样本空间上的一个实变函数。,实验结果数量化,例5 设袋中装有依次标有-1，0，0，1的4个球，从袋中任取
6、一个球，用X表示取得的球上标记的数值。 例6 从一批次品率为p的产品中有放回的抽取产品进行检验，直至抽得次品为止。用X表示抽取的次数。 例7 从一批次品率为p的产品中有放回的抽取n件产品进行检验，用X表示抽得次品的次数。 例8 点目标射击，用X表示击中点(x, y)与目标点(0, 0)的距离。 例9 出租车通过十字路口，用X表示等待时间长度。 2、离散型随机变量的概率分布 （1）分布律与分布函数 设X为随机变量，x1, x2, , xk, 为X的所有可能取值，则称 PX=xi= pi (i=1,2,3, ) 为X的分布律。称,为X的分布函数。,例5中X的分布律：,X的分布函数F(x)为,(2)
7、 常见离散分布变量 两点分布（贝努里分布，或（0，1）分布） 分布律：PX=1= p，PX=0= q =1- p 分布函数：,二项分布（n重贝努里分布）B(n, p)：相互独立n次贝努里试验中事件A出现的次数 分布律：,Poisson分布 分布律：,几何分布（例6） 分布律：,（3）随机变量的统计独立性 设X与Y为离散随机变量，若对于所有的xi，yj，有 P(X= xi，Y=yj) = P(X= xi)P(Y=yj) 成立 称X与Y，若相互独立。,（4）离散随机变量的数学期望E(X)与方差D(X) 数学期望（均值）代表了X 概率分布的集中趋势，是重要的数字特征。公式为,方差D(X)的性质： D
8、(C) = 0，C为常数；D(CX) = C2 D(X)； 若X与Y相互独立，则D(XY) = D(X) D(Y) 两点分布X的方差D(X) = pq；二项分布X的方差D(X) = npq； Poisson分布X的方差D(X) = t；几何分布X的方差D(X) =q/p2,方差描述了X 概率分布的离散状况，即偏离均值的程度。公式为,D(X) = E(X-E(X)2 = E(X2) (E(X)2,数学期望E(X)的性质： E(C) = C，C为常数；E(CX) = C E(X)；E(XY) = E(X) E(Y) ； 若X与Y相互独立，则 E(XY) = E(X) E(Y) 两点分布X的均值E(
9、X) = p；二项分布X的均值E(X) = np； Poisson分布X的均值E(X) = t；几何分布X的均值E(X) =1/p,3、连续型随机变量的概率分布 （1）分布密度函数，均值与方差 设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f (x)，使得对于任意实数x，有,称X为连续型随机变量，并称f (x)为X的概率密度。 概率密度f (x)有如下性质：, f (x) 0，- x + ； 对于任意实数a，b，且a b 有, 若f (x)在x点处连续，则有,连续型随机变量的分布函数F(x)必为连续函数。,(2) 常见的连续分布变量 a，b上的均匀分布X,称,为X 的均值,为X 的方差,指数
10、分布X,正态分布X,记为N(, 2)，特别当 = 0， =1时称为标准正态分布，记作N(0, 1)，其分布函数记作(x)。,正态分布X的性质：, f (x)关于 x = 对称，呈钟形； 越小，曲线越陡。 f (x) f ( ) ；当x 趋于正负无穷大时， f (x) 以 x 轴为渐近线 f (x)与 x 轴所围面积等于1。,对于一般正态分布N(, 2)的随机变量X，经过线性变换 Y= (X- )/ ，则Y为标准正态分布。,4、协方差与相关系数 定义：设（X，Y）为二维随机变量，若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，则称其为X与Y的协方差，记为Cov (X, Y)。,协方差的性质： Cov (X
11、, Y) = Cov (Y, X) 。 Cov (aX, bY) = ab Cov (X, Y) Cov (X1+X2, Y) = Cov (X1, Y) + Cov (X2, Y) 若X与Y相互独立，则Cov (X, Y) = 0 若E(X2)，E(Y2)存在，则Cov (X, Y)2 D(X)D(Y),Cov (X, Y)=E (XY)- E (X) E (Y),定义：,称为X与Y的相关系数，记为X,Y,相关系数的性质： 若X与Y相互独立，则X,Y = 0 |X,Y| 1 |X,Y| = 1的充要条件是：存在常数a, b ，使得PY= a+bX=1,定义：若X,Y = 0 ，称X与Y不相关。,随机现象的统计规律性，只有在相同条件下进行大量的重复试验才能够体现出来，随着试验次数N的增加，时间的频率趋于它的稳定值，即概率。 大数定理：在随机试验过程中，每次的结果不同，但是大量重复试验的结果的平均值的极限总是存在的。 大数定理是统计推断的最重要的理论基础之一 中心极限定理：设X1 , X2, , Xn服从为独立同分布随机变量，均值为, 方差为2，则随机变量X,5 大数定理与中心极限定理,当n 很大时，其分布渐近于N(n, n2)，若 0,渐近于N(0, 1),
