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1、（2021平谷一模压轴题）21（15分）已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和（）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质；（）证明：，且；（）证明：当时，成等差数列（）因为，所以数列不具有性质；因为；，六组数中，至少有一个属于，所以数列具有性质。5分（）数列具有性质，与中至少有一个属于A，故，。由A具有性质可知.， ；从而，10分（）证明：由（）知，, , ,数列是以0为首项，共差为的等差数列。 15分类似题（学探诊总复习下册理科模拟练习第八套）（2016房山一模理）（20）（本小题13分）已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个
2、属于.（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）当时，证明： 成等差数列.k.s.20（共13分）解（）因为与均不属于集合，所以数集不具有性质. 2分 因为均属于集合， 所以数集是具有性质. 4分（）因为对任意的，与两数中至少有一个属于，所以与中至少有一个是数列中的项，因为数列是递增有限数列，且所以，故. 从而，所以. 因为， 所以，故.所以.又因为，所以， 即.所以 9分（）由（）知，当时，有，即，因为，所以，所以，所以. 由，得，且，所以，即所以是首相为0，公差为的等差数列.13分（2021人大附3月考）21（本小题15分）已知项数为的数列满足，若对任意的，至少有一个
3、是数列中的项，则称数列具有性质（）判断数列0，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；（）设项数为10的数列具有性质，求；（）若数列具有性质，且不是等差数列，求21（本小题15分）（）数列不具有性质 2分因为，它们均不是数列中的项，所以数列不具有性质 4分（）考虑项数为k的具有性质数列 因为，所以，即，所以 5分设，因为，所以又，所以 7分将上面的式子相加得所以 8分故当时， 9分（）一、当时， 由（），与数列不是等差数列矛盾，不合题意10分二、当时，存在数列符合题意，例如数列，故可为411分三、当时，由（），(*)当时，所以，又，所以所以因为，所以，所以，所以(*)由(*)(*)两式相减得，与
4、数列不是等差数列矛盾，不合题意14分综上所述，15分（2019石景山一模理20）20.（本小题13分）若项数为的单调递增数列满足：；对任意（，），存在（，）使得，则称数列具有性质.（）分别判断数列和是否具有性质，并说明理由；（）若数列具有性质，且，（）证明数列的项数；（）求数列中所有项的和的最小值20（本题13分）解：（）因为 ，所以 不具有性质 ； 因为， ， ，所以 具有性质 （）（）因为是单调递增数列，又， 所以 即， 所以， ，所以， 又因为，所以 （）因为，；所以可以构造数列满足性质；或， 所以可以构造数列满足性质；上述两个数列的和为，下面说明为数列中所有项的和的最小值若在数列中，要
5、求数列中所有项的和的最小值，则， 若不在数列中，则 ，由（）知，则数列中所有项的和，所以要求数列中所有项的和的最小值，则同理要求数列中所有项的和的最小值，则，同理可得或；依此类推要求数列中所有项的和的最小值，其数列为或所以数列中所有项的和的最小值为 【若有不同解法，请酌情给分】已知数集具有性质对任意的，使得成立.（）分别判断数集和是否具有性质，并说明理由；（）求证：；（III）若，求数集中所有元素的和的最小值. 【答案】分析：（）利用性质P的概念，对数集1，3，4与1，2，3，6判断即可；（）利用集合A=a1，a2，an具有性质P，可分析得到aiak-1，ajak-1，从而ak=ai+aj2a
6、k-1，（k=2，3，n），将上述不等式相加得a2+an-1+an2（a1+a2+an-1）即可证得结论；（）首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2，构造A=1，2，3，6，9，18，36，72或者A=1，2，4，5，9，18，36，72，这两个集合具有性质P，此时元素和为147再利用反证法证明满足S=ai147最小的情况不存在，从而可得最小值为147解答：解：（）因为31+1，所以1，3，4不具有性质P因为2=12，3=1+2，6=3+3，所以1，2，3，6具有性质P（4分）（）因为集合A=a1，a2，an具有性质P：即对任意的k（2kn），i，j（1ijn），使得ak=ai+
7、aj成立，又因为1=a1a2an，n2，所以aiak，ajak所以aiak-1，ajak-1，所以ak=ai+aj2ak-1即an-12an-2，an-22an-3，a32a2，a22a1（6分）将上述不等式相加得a2+an-1+an2（a1+a2+an-1）所以an2a1+a2+an-1（9分）（）最小值为147首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2所以易知数集A的元素都是整数构造A=1，2，3，6，9，18，36，72或者A=1，2，4，5，9，18，36，72，这两个集合具有性质P，此时元素和为147下面，我们证明147是最小的和假设数集A=a1，a2，an（a1a2an，
8、n2），满足最小（存在性显然，因为满足的数集A只有有限个）第一步：首先说明集合A=a1，a2，an（a1a2an，n2）中至少有8个元素：由（）可知a22a1，a32a2又a1=1，所以a22，a34，a48，a516，a632，a76472，所以n8第二步：证明an-1=36，an-2=18，an-3=9：若36A，设at=36，因为an=72=36+36，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素ak，使得36ak72，从而an-1=36；假设36A，根据性质P，对an=72，有ai，aj，使得an=72=ai+aj显然aiaj，所以an+ai+aj=144而此时集合A中至少还有5个不同于an
9、，ai，aj的元素，从而S（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾，所以36A，进而at=36，且an-1=36；同理可证：an-2=18，an-3=9（同理可以证明：若18A，则an-2=18）假设18A因为an-1=36，根据性质P，有ai，aj，使得an-1=36=ai+aj显然aiaj，所以an+an-1+ai+aj=144，而此时集合A中至少还有4个不同于an，an-1，ai，aj的元素从而San+an-1+ai+aj+4a1=148，矛盾，所以18A，且an-2=18同理可以证明：若9A，则an-3=9假设9A因为an-2=18，根据性质P，有ai，aj，使得an-2=18=ai
10、+aj显然aiaj，所以an+an-1+an-2+ai+aj=144而此时集合A中至少还有3个不同于an，an-1，an-2，ai，aj的元素从而San+an-1+an-2+ai+aj+3a1=147，矛盾，所以9A，且an-3=9）至此，我们得到了an-1=36，an-2=18，an-3=9ai=7，aj=2根据性质P，有ai，aj，使得9=ai+aj我们需要考虑如下几种情形：ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8，则S148；，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7，则S148；ai=6，aj=3，此时集合A=1，2，3，6，9，
11、18，36，72的和最小，为147；ai=5，aj=4，此时集合A=1，2，4，5，9，18，36，72的和最小，为147（14分）点评：本题考查数列的求和，突出考查反证法的应用，考查分类讨论思想与转化思想，考查构造函数的思想，an-1=36，an-2=18的证明是难点，属于难题(2009年-北京20题) 已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于.() 分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；() 证明：，且；() 证明：当时，成等比数列.解答：（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P.由于都属于数集，该数集具有性质P.（）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故.从而， ，故.
12、由A具有性质P可知.又，从而，.（）由（）知，当时，有，即，由A具有性质P可知.由，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列.（2018海淀二模）20.（本小题共13分）如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质P”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为.（）若，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；（）若数列具有“性质P”，求证：且；（）若数列具有“性质P”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由20.（本小题13分） 解：（）若，公差，则数列不具有性质1分理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，3分（）若数列具有“性质P”，则 假设，则对任意的，. 设，则，矛盾！4分 假设，则存在正整数，使得设，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾！6分 假设，则存在正整数，使得设，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾！8分 综上，（）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数， 这与数列具有“性质P”矛盾，故 设是数列中的任意一项，则，均是数列中的项，设 ， 则，因为，所以，即数列的
