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1、 5.2平面向量数量积与应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算4.理解数量积的性质并能运用2018北京文,9向量数量积的坐标运算向量垂直的应用2016北京文,9求向量的夹角向量数量积的运算2015北京文,6向量数量积的定义及向量平行的条件充分、必要条件的判断2.平面向量数量积的应用1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、
2、力学问题以及一些实际问题2018北京,6求向量的模及向量垂直的条件2017北京,6向量数量积小于零的意义及向量共线的条件充分、必要条件的判断2017北京文,12向量法解决平面几何问题最值问题分析解读在北京高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积,遇到向量模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决.主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结
3、合的方法和函数的思想解决最值等综合性问题.破考点【考点集训】考点一平面向量的数量积1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),AOB=120,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则CMCN的取值范围是()A.-34,0B.-1,1)C.-12,1D.-1,0)答案A2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DECB的值为;DEDC的最大值为.答案1;1考点二平面向量数量积的应用3.已知向量|AB|=2,|CD|=1,且|AB-2CD|=23,则向量AB和CD的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案C4.已知向量a
4、=(cos ,sin ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是()A.4,0B.42,4C.42,0D.16,0答案A5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,23),若a(2a+b),则a,b的夹角为.答案23炼技法【方法集训】方法1求平面向量的模的方法1.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PAPB=-12,若|BC|=1,则|AC|的最大值为()A.2-1B.3-1C.2+1D.3+1答案D2.在ABC中,BAC=60,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且ABCD=5,则|BD|等于()A.6B.4C.2D.1答案C3.已知向量a与向量b的夹角为23,
5、且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(xR且x0,yR),则xc的最大值为()A.33B.3C.13D.3答案A方法2求平面向量的夹角的方法4.ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则向量a,b的夹角为()A.30B.60C.120D.150答案C5.若e1,e2是平面内夹角为60的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为()A.30B.60C.90D.120答案D6.已知|a|=10,ab=-5302,且(a-b)(a+b)=-15,则向量a与b的夹角为()A.23B.34C.56D.3答案C方法3用向量法解决平面几何问题的方
6、法7.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为()A.6B.7C.8D.9答案B8.已知向量OA,OB的夹角为60,|OA|=|OB|=2,若OC=2OA+OB,则ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案C过专题【五年高考】A组自主命题北京卷题组1.(2017北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A2.(2016北京,4,5分)设a,b是
7、向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D3.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“ab=|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m=.答案-15.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AOAP的最大值为.答案66.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1
8、,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.答案6B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的数量积1.(2018课标,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B2.(2016课标,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A3.(2014课标,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则ab=()A.1B.2C.3D.5答案A4.(2017课标,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案235.(20
9、16课标,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-26.(2015湖北,11,5分)已知向量OAAB,|OA|=3,则OAOB=.答案9考点二平面向量数量积的应用1.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AEBE的最小值为()A.2116B.32C.2516D.3答案A2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为3,向量b满足b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+
10、1C.2D.2-3答案A3.(2017课标,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案B4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-94答案B5.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案B6.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹
11、角为,且cos =13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为,则cos =.答案223C组教师专用题组1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则ADAC=()A.5B.4C.3D.2答案A2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于()A.-32B.-53C.53D.32答案A3.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AEBF的最小值为.答案-34.(2
12、017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案4;255.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,则AEAF的值为.答案2918解析解法一:由题意可知CD=1,AD=BC=1,又因为DF=16DC,AB=2DC,所以DF=112AB,在ADF中,AF=AD+DF=AD+112AB,在梯形ABCD中,BC=BA+AD+DC=-AB+AD+12AB=-12AB+AD,在ABE中,AE=AB+BE=AB+23
13、BC=AB+23-12AB+AD=23AB+23AD,所以AEAF=23AB+23AD112AB+AD=118AB2+1318ABAD+23AD2=11822+13182112+2312=2918.解法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的直角坐标系,由于AB=2,BC=1,ABC=60,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为32,所以A(0,0),B(2,0),D12,32,C32,32,所以BC=-12,32,DC=(1,0),又因为BE=23BC,DF=16DC,所以E53,33,F23,32,因此AEAF=53,3323,32=5323+3332=109+12=2918.评析本题考查数量积的运算,向量共线的表示等基础知识,考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用.6.(2015安徽,15,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2
