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1、第2课时 补集及应用,集合的基本运算,一,二,一、全集 这三个集合相等吗?为什么? (2)这三个集合中表示特征性质的方程相同,但得到的集合却不相同.你觉得化简集合时要注意什么? 提示:要注意集合中代表元素的范围.即解方程时,要注意方程的根在什么范围内,同一个方程在不同的范围内其解会有所不同.,三,一,二,(3)在问题(1)中,集合Z,Q,R分别含有所解方程时所涉及的全部元素,这样的集合称为全集.那么全集一定要包含任何元素吗? 提示:不一定.全集不是固定的,它是相对而言的.只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可. 2.填空 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全
2、集,通常记作U.,三,一,二,二、补集 1.A=高一(2)班参加排球队的同学,B=高一(2)班没有参加排球队的同学,U=高一(2)班的同学. (1)集合A,B,U有何关系? 提示:U=AB. (2)集合B中的元素与U,A有何关系? 提示:集合B中的元素在U中,但不在A中.,三,一,二,2.填表:,三,一,二,3.做一做 (1)已知全集U=1,2,3,4,5,6,7,集合A=1,3,5,6,则UA=() A.1,3,5,6B.2,3,7 C.2,4,7D.2,5,7 (2)已知全集U为R,集合A=x|x1,或x5,则UA=. 解析:(1)由A=1,3,5,6,U=1,2,3,4,5,6,7,得U
3、A=2,4,7.故选C. (2)集合A=x|x1,或x5的补集是UA=x|1x5. 答案:(1)C(2)x|1x5,三,一,二,三,三、补集的性质 1.(1)全集的补集是什么?空集的补集是什么? 提示:UU=,U=U. (2)一个集合同它的补集的并集是什么?一个集合同它的补集的交集是什么? 提示:AUA=U;AUA=. (3)一个集合的补集的补集是什么? 提示:U(UA)=A. (4)当集合AB时,UA与UB有什么关系? 提示:ABUAUB. 2.做一做 已知U=1,2,3,4,5,6,A=1,3,5.求UA,AUA,AUA. 解:UA=2,4,6,AUA=,AUA=U=1,2,3,4,5,6
4、.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,补集的基本运算 例1 (1)已知全集为U,集合A=1,3,5,7,UA=2,4,6,UB=1,4,6,则集合B=; (2)已知全集U=x|x5,集合A=x|-3x5,则UA=. 分析:(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出集合B,也可借助Venn图求解. (2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,解析:(1)(方法一)A=1,3,5,7,UA=2,4,6, U=1,2,3,4,5,6,7. 又UB=1,4,6,B=2,3,5,7. (方法二)满足题意的Venn图如图所示.
5、由图可知B=2,3,5,7. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示. 由补集的定义可知UA=x|x-3,或x=5. 答案:(1)2,3,5,7(2)x|x-3,或x=5,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,反思感悟 求集合的补集的方法 1.定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. 2.Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集. 3.数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,变式训练1已知集合A=x|-3x5,UA=x|x5,B=x|1x3,求UB. 解:由已知U=x|-3x5x|
6、x5=x|x-3,又B=x|1x3, 所以UB=x|-3x1或x3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,交集、并集与补集的混合运算 例2设全集U=-2,-1,0,1,2,集合A=x|x2+x-2=0,B=0,-2,则B(UA)=() A.0,1B.-2,0 C.-1,-2D.0 分析:先求出集合A,再求出集合A的补集,最后根据集合的交集运算求出结果. 解析:由于A=x|x2+x-2=0=-2,1, 所以UA=-1,0,2, 所以B(UA)=0,故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,例3已知全集U=x|-5x3,A=x|-5x-1,B=x|-1x1,求UA,U
7、B,(UA)(UB). 分析:由于U,A,B均为连续的无限集,所求问题是集合间的交集、并集、补集运算,故考虑借助数轴求解. 解:将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示, 则UA=x|-1x3; UB=x|-5x-1,或1x3; (UA)(UB)=x|1x3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,反思感悟 交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况 1.对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错. 2.对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,
8、再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,变式训练2(1)如果全集U=R,M=x|-1x2,N=1,3,5,则M(UN)=() A.(-1,1)(1,2)B.(-1,2) C.(-1,1)(1,2D.(-1,2 (2)已知全集为R,A=x|3x7,B=x|2x10,求R(AB)及(RA)B. (1)解析:UN=x|x1,且x3,且x5, M(UN)=(-1,1)(1,2. 答案:C (2)解:把集合A,B在数轴上表示如图.由图知,AB=x|2x10,R(AB)=x|x2,或x10. RA=x|x3,或x7
9、, (RA)B=x|2x3,或7x10.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,补集性质的应用 例4 已知全集为R,集合A=x|xa,B=x|1x2,且A(RB)=R,则实数a的取值范围是. 分析:先求出RB,再借助于数轴求实数a的取值范围. 解析:B=x|1x2,RB=x|x1,或x2. 又A=x|xa,且A(RB)=R,利用如图所示的数轴可得a2. 答案:a2,反思感悟 由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,延伸探究已知集合A=x|x2+a
10、x+12b=0和B=x|x2-ax+b=0,满足B(UA)=2,A(UB)=4,U=R,求实数a,b的值. 解:(1)B(UA)=2,2B,但2A. A(UB)=4,4A,但4B.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,集合中的新定义问题 此类问题是以集合内容为背景,设计一个陌生的问题情景,即给出一个新的概念或者新的运算、新的法则,要求我们在理解新概念、新运算、新法则的基础上解决相应的问题,这就是与集合相关的新定义题型. 要解答此类题,关键是先要理解新定义、新运算、新法则的实质,根据这种新的定义、运算或者法则来求解问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,一、新定义 典例1已知
11、集合M=1,2,3,4, AM,集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”,且规定:当集合A只有一个元素时,其累积值即为该元素的数值,空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. (1)若n=3,则这样的集合A共有个; (2)若n为偶数, 则这样的集合A共有个. 解析:(1)若n=3,据累积值的定义,得A=3或A=1,3,这样的集合A共有2个. (2)因为集合M的子集共有24=16个,其中“累积值”为奇数的子集为1,3,1,3,共3个,所以“累积值”为偶数的集合共有13个. 答案:(1)2(2)13,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,二、新运算 典例2已知集合A=0,2,3,定义集合运
12、算AA=x|x=a+b,aA,bA,则AA=. 解析:由题意知,集合A=0,2,3,则a与b可能的取值分别为0,2,3,a+b的值可能为0,2,3,4,5,6, AA=0,2,3,4,5,6. 答案:0,2,3,4,5,6,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,1.设集合A=1,3,4,5,B=2,4,6,C=0,1,2,3,4,则(AB)C=() A.2B.2,4 C.1,2,3,4D.1,2,3,4,5 解析:AB=1,2,3,4,5,6,(AB)C=1,2,3,4. 答案:C,2.已知全集U=R,A=x|x0,B=x|x1,则集合U(AB)=() A.x|x0B.x|x1 C.x|
13、0 x1D.x|0 x1 解析:U=R,A=x|x0,B=x|x1, AB=x|x0,或x1, U(AB)=x|0 x1. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,3.已知全集U=R,A=x|1xb,UA=x|x1,或x2,则实数b=. 解析:UA=x|x1,或x2, A=x|1x2.b=2. 答案:2 4.已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=1,3,集合B=3,4,6,集合U,A,B的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为. 解析:题图中阴影部分所表示的集合为B(UA)=3,4,62,4,5,6=4,6. 答案:4,6,探究一,探究二,探究三,思维辨析,随堂演练,解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示. A=x|-4x3.,
