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1、债券的风险度量,久期的介绍 凸度的介绍 程序实现方法 上机实验检查内容,债券的久期,久期的概念 久期的概念最早是马考勒(Macaulay)在1938年提出来的，所以又称马考勒久期（简记为D）。马考勒久期是使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。它是债券在未来产生现金流的时间的加权平均,其权重是各期现金值在债券价格中所占的比重。 保罗萨缪尔森、约翰斯克斯和瑞丁敦在随后的若干年独立地发现了久期这一理论范畴，特别是保罗萨缪尔森和瑞丁敦将久期用于衡量资产/负债的利率敏感性的研究，使得久期具有了第二种含义，即：资产针对利率变化的价格变化率。,免疫策略,久期是债券投资管理中的一个极其重要的策略-“免疫
2、策略”的理论基础，根据该策略，当交易主体债券组合的久期与债权的持有期相等的时候，该交易主体短期内就实现了“免疫”的目标，即短期内的总财富不受利率波动的影响。,麦考雷(Macaulay)久期的计算公式： 麦考雷久期(以期间计)= 麦考雷久期(年)=麦考雷久期(以期间计)/k 其中： PV（C_t)为以t期对应的市场普遍收益率进行贴现得到的债券在第t期的现金流现值； n为债券持有期内现金流的期间总数； TPV为债券各期现金流的总现值; k为每年支付现金流的次数。,久期是反映债券价格波动的一个指标。它对到期时间进行加权平均，权重等于各期现金流的现值占总债券现金流现值的比例。久期实际表示的是投资者收回
3、初始投资的实际时间。,久期计算举例,假设面额为1000元的3年期变通债券，每年支付一次息票，年息票率为10%，此时到期收益率分别为为12%，5%，20%，则该种债券的久期为：,久期的一些特点,从上面的计算结果可以发现，久期随着市场利率的下降而上升，随着市场利率的升而下降，这说明两者存在反比关系。 在持有期间不支付利息的金融工具，其久期等于到期期限或偿还期限。 分期付息的金融工具，其久期总是短于偿还期限，是由于同等数量的现金流量，早兑付的比晚兑付的现值要高。 金融工具到期期限越长其久期也越长；金融工具产生的现金流量越高，其久期越短。,修正久期= 修正久期本质上是债券的对数关于到期收益率的导数的绝
4、对值，反映了债券关于到期收益率的变化强度，其近似的表达关系是：,需要注意的是，另一种理解是债券作为风险项目，其价格过程视为变化的，则此时，久期和凸度的概念就类似于股票的模型。这是值得注意的地方。,债券组合的久期计算公式： 债券组合的久期=,其中：,债券i市值总和在债券组合市值总和中所占的比重；,债券i的修正久期；,债券组合中债券的个数。,数学上的问题,久期可以视作债券定价函数的导数（除去定价初值），而导数反映了一个函数的变化强度，因此，从线性近似的程度来说，以价格-到期收益率曲线而言，存在导数最小和最大的点，这样的点具有什么样的特点，这种理解是否一定正确？ 如何寻找这样的点？ 回想到期收益率的
5、初衷，如何平衡风险和项目的可靠性之间的关系？如何确定最优的项目的到期收益率？ 上面的问题一和问题二是要检查的内容。,凸 度,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量。因为在利率变化比较大的情况下久期就不能完全描述债券价格对利率变动的敏感性。凸性越大,债券价格曲线弯曲程度越大,用修正久期度量债券的利率风险所产生的误差越大。,凸度的数学原理,债券价格收益率曲线,凸度的性质,凸性随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。 对于没有隐含期权的债券来说，凸性总大于0，即利率下降，债券价
6、格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。 含有隐含期权的债券的凸性一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。因为利率下降时买入期权的可能性增加了。,债券定价定理4： 若债券期限一定，同等收益率变化下，债券收益率上升导致价格下跌的量，要小于收益率下降导致价格上升的量。 例：三债券的面值都为1000元，到期期限5年，息票率7%，当到期收益率变化时。,但是从久期和凸度的近似并不能看出这一点。这是值得关注的地方。,债券凸性投资价值的评估,假设我们面对两个不同期次，具有相同存续期间的政府公债（无信用风险），两者的市场到期收益率也正
7、好相同，投资人对这两张债券是否会有不同的偏好呢？基于债券凸性的特质，如果两者有着不同的债券凸率，理性投资人应该会偏好债券凸率较高的公债。因此，在市场供给需求的调整下，我们可以预期两公债的到期收益率必将有所调整，以反应投资人对高凸率公债的偏好。投资人对于高凸率债券的到期收益率要求将会低于凸率较小的债券，也就是说，在其他条件相同的情况下，高凸率债券的价格应该比低凸率债券为高，以反应债券凸性的价值，由此衍生的问题是凸度的价值问题。,一些诡异的结论,然而，市场中的债券价格果真有反应出债券凸性的价值吗？Kahn and Lochoff(1990)使用1981年至1986年的美国公债为样本，发现债券凸性在
8、某些情况下会给投资人带来超额投资报酬，也就是说即使投资人以较高的价格购入具有高债券凸率的债券，其投资报酬仍然要比投资于低凸率债券为佳，这显示出交易市场对于债券凸性的定价并不正确，因此存在有超额获利空间。 Lacey and Nawalkha(1993)则提出了不同的结论。这两位学者以1976到1987年的美国公债为样本作分析，结果并未发现高债券凸性会带给投资人超额的报酬，表示其已被市场正确的定价。,中国的情况,林聪钦(1995)以国内公债及公司债为样本，发现债券凸性对于超额投资报酬有解释能力。 李耀宗(1995)针对国内公司债作分析，也发现债券凸性是超额投资报酬的解释因子之一，显示出针对债券凸
9、性的操作策略是值得投资人重视的 。 (1997)使用1992到1996年国内所发行之35期次的政府公债来测试债券凸性以及其他因子解释债券超额报酬的能力。发现债券凸性在解释国内公债超额报酬的能力上并不显著，再度验证国内公债市场投资人对于债券凸性并未做出合理定价，这表示市场投资人或可针对债券凸性找出套利机会。,我们可以做的工作,从前面的几件比较乌龙的事件可以看出，对于债券凸度的价值的定价并不同意，检验方法也有很大的差别，因此在这个领域存在很多有价值的课题。 这些课题及时本科生也可以做出很有意思的成果。 已经有相关的工作可以做这件事情，但是很多的开问题值得关注。,久期的计算例子,例3.16 面值为1
10、00美元，票息率为10%的5年期债券, 收益率为10%, 计算久期(以年计)及修正久期。,data a; c2=0; tc2=0; do n=1 to 10; t=n; if n10 then c=5 ; else if n=10 then c=105 ; a=1/(1+0.05)*n); c1=c/(1+0.05)*n); tc1=t*c1; c2=c2+c/(1+0.05)*n); tc2=tc2+t*c/(1+0.05)*n); if n=10 then d=tc2/(c2*2); md=d/(1+0.05); output; end;,data b; set a; drop c2 tc
11、2 n; label t=时间 c=现金流 a=1美元的现值 c1=现金流的现值 tc1=t*pvcf d=久期(以年计) md=修正久期; proc print data=b label noobs; title 久期及修正久期; var d md; run;,输出结果： 久期(以年计) 修正久期 4.05391 3.86087,注：修正久期可直接用SAS函数计算：Modifdur=DURP(100,0.1,2,10,0.5,0.1); 函数DURP用法：DURP(A,c,n,K,k0,y)，其中A表示面值，c表示名义年票息率，n为年付息次数，K为生于付息次数，k0为现在到下一次付息日的间隔
12、，y为收益率。,本章开始时所提出的问题，能否集合这个函数来实现？,例3.19 面值为100美元，票息率为10%，到期收益率为10%的5年期债券，以平价出售，计算久期。,%macro d(i,y,p); data a; x=100*(,输出结果：d=8.1078216756，这是否说明久期比发行期限来的大 ？,修正久期的近似计算,近似久期= 其中： V-为收益率下降 证券的估计价格； V+为收益率上升 证券的估计价格； V0为证券初始价格； 为证券收益率的变化。,例3.20 票息率为7%，到期收益率为10%的20年期债券，以74.26美元的价格出售，收益率上升或下降20个基本点的价格变化如下所示
13、，试计算近似修正久期。 V-= 75.64468623 V+= 72.917291682 V0= 74.261370469 =0.002(半年变化10个基本点),收益率上升或下降20个基本点的债券初始价格计算程序：,data a; delete; %macro a(n,y,cupon,par); data a1; p1=0; %do i=1 %to ,y=200*,p=74.261370469 p=71.611134614 p=77.068604183,近似久期计算程序,%macro md(Vu,Vd,V,y); data a; md=(,输出结果： MD=9.15701589 结果接近精确值
14、md=9.1802370384,精确值计算程序：,%macro d(y,cupon,period,p0); data a; c2=0; tc2=0; do n=1 to ,if n=,输出结果为：md=9.1802370384,债券凸度计算举例,例3.21 假设面值为100美元，5年期的票息率为8%的债券, 每半年付息。假设该债券的初始收益率为10%，计算该债券的凸度。,if n=,计算结果： 凸度(以半年记) concave= 78.29424228 凸度(以年计) yearlyconcave= 19.57356057,%macro (y,cupon,period,p0); data a;
15、c2=0; tc2=0; do n=1 to ,注：也可以用SAS函数直接计算：convx=convxp(100,0.08,2,10,0.5,0.1); 同久期一样，能否结合这个函数，实现求凸度最大的点？,例3.22 假设面值为100美元，5年期的零息票债券，年收益率为10%，计算凸度。,%macro concave(n,y); data a; concave=,计算结果： 凸度concave=99.77324263,计算凸度引起的价格变化,凸度引起价格变化百分比的估计值 =,例3.24 面值为100美元，期限为15年的票息率为8%的债券，每半年付息，其初始收益率为10%。若收益率由10%增长
16、到13%，计算凸度引起的价格变化。,首先计算年凸度：只需要将上面凸度计算程序中的宏参数值改为%d(0.05,4,30,100) 即可求得年凸度为94.3571。,%macro vp(x,y); data a; caused=0.5*,计算结果：凸度引起的价格变化为caused=4.2460695 %,美元凸度,美元凸度=凸度初始价格. 为确定美元引起的价格变化幅度，可以利用以下公式： 凸度解释的价格变化幅度=,例3.25 期限为15年的票息率为8%的债券，收益率为10%，计算每100美元面值债券的美元凸度。,首先计算凸度和初始价格： 凸度=94.36 初始价格= 84.627548973 凸度前面已经计算过，初始价格的计算程序为：,data a; delete; %macro a(n,y,cupon,par); data a1; p1=0; %do i=1 %to ,if lasobs; p2=,计算的初始价格为p=84.627548973,计算美元凸度程序： %macro anlaye(x,y ,p ); data a; concave= 计算结果： 美元凸度concave=7985
