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1、工程数学一. (10分)填空题1.初始位移为,初始速度为的无界弦的自由振动可表述为定解问题:2.为使定解问题 （为常数）中的边界条件齐次化,而设,则可选3.方程的通解为4只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.5方程满足条件的特解为二. (10分)判断方程的类型，并化成标准形式解：因为，所以除轴外方程处处是椭圆型的。 2分它的特征方程是 5分即特征线为 作变换： 7分求偏导数将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 10分三. (10分)求解初值问题解：利用达朗贝尔公式 5分得 10分四. (15分)用分离变量法解定解问题 解先求满足方程和边界条件的解.设解为 2分代入方程得除以有得
2、到两个常微分方程 3分 4分由边界条件得由，得 5分于是固有值问题为 解之得一系列固有值 相应的固有函数为 8分再解方程，通解为 10分利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解 12分 由初始条件，得， 13分由 其中 14分将代入得定解问题解 15分五. (15分)解非齐次方程的混合问题解先确定固有函数.令代入相应的齐次方程和齐次边界条件得固有值问题固有函数为 5分设解为 （1） 7分其中是待定函数.显然满足边界条件.为确定函数,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数 （2） 8分其中 9分再将（1）,(2)代入方程得 比较系数,有 10分由初始条件得所以 11分解初值问题得 14
3、分将代入级数(1)，得定解问题的解. 15分六. (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题本题所用公式：解对x作傅氏变换，记 F F 2分对方程和初始条件关于x取傅氏变换，有 7分解常微分方程的初值问题，得 10分再对进行傅氏逆变换得F 13分 15分七. (15分)用静电源像法求解上半平面的狄利克雷问题解先求格林函数，由电学知在上半平面的点处置单位负电荷，在关于x轴的对称点处置单位正电荷，则它与产生的电势在x轴上 互相抵消，因此上半平面的格林函数为 7分下面求 10分所以 15分八. (10分)证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 证明：假设有两个调和函数和，它们在有界区域的边界上完全相同，则它们的差在中也满足方程，且。由极值原理的推论知，函数在区域上最大值和最小值均为零，即。因此，即狄利克雷内问题的解是唯一的。 5分 其次，设在区域的边界上给定了函数和，而且在上处处成立，这里是一个给定的正数。设分别是方程在区域上以和为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数。由极值原理的推论可得，在上各点有，.因此，在上各点有，即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。 10分
