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1、北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习(一)数学试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题。每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知全集,集合,则为ABCD2是的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3若,则下列各式正确的是A B C D4在等差数列中,且,则的最大值是A B C D5如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为A B C D 6下列命题中,真命题是A BC D7已知、为双曲线C:的左、右焦点,点在上,=,则到轴的距离为 A B C D 8设函数,若互不相等的实数满足
2、,则的取值范围是 A B C D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9已知则_.10函数在区间上存在一个零点,则实数的取值范围是 11由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为 .12正三角形边长为2,设,则_.13已知命题:是奇函数;。下列函数:,中能使都成立的是 .(写出符合要求的所有函数的序号).14 集合,集合,,设集合是所有的并集,则的面积为_.三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明步骤或演算步骤.15(本小题满分13分)已知函数(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;(2)函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象?16(本小题满
3、分13分)已知数列的前项和为,数列满足,(1)求数列的通项公式; (2)求数列的前项和.17(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,侧面与底面垂直, 分别是的中点,.(1)求证:/平面;(2)若点在线段上,问:无论在的何处,是否都有?请证明你的结论;(3)求二面角的平面角的余弦值.来源:Z_xx_k.Com18. (本小题满分13分)椭圆的中心为坐标原点,右焦点为,且椭圆过点。的三个顶点都在椭圆上,设三条边的中点分别为.(1)求椭圆的方程;(2)设的三条边所在直线的斜率分别为,且。若直线的斜率之和为0,求证:为定值.19. (本小题满分13分)来源:学科网已知函数().(1)求函数的单调区间;(
4、2)对,不等式恒成立,求的取值范围20(本小题满分14分) 将所有平面向量组成的集合记作,是从到的映射,记作或,其中都是实数。定义映射的模为:在的条件下的最大值,记做.若存在非零向量,及实数使得,则称为的一个特征值.(1)若,求;(2)如果,计算的特征值,并求相应的;(3)若,要使有唯一的特征值,实数应满足什么条件?试找出一个映射,满足以下两个条件:有唯一的特征值,,并验证满足这两个条件.北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习(一)数学试卷(理科)参考答案题号12345678答案CACCBDBD9. 1 10. 11. 12. 13. 14. 15.解:(1) = = = 6分 最小
5、正周期 单调递增区间 , 9分 (2) 向左平移个单位;向下平移个单位 13分16解(1) 4分 +3 , +3,两式作差:3-=2 10分 (2) = 13分17解:(1)分别是的中点 / 又平面 /平面 3分(2) 在中,/, 平面平面, 平面,平面 平面 平面 所以无论在的何处,都有 8分(3) 由(2)平面又平面 是二面角的平面角在中所以二面角的平面角的余弦值为 14分法二:(2) 是的中点, 来源:Zxxk.Com又平面平面平面同理可得平面在平面内,过作 以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则, ,设,则, 恒成立,所以无论在的何处,都有(3)由(2)知平面的法向量
6、为= 设平面的法向量为 则,即 令,则,所以二面角的平面角的余弦值为 14分18解:(1)设椭圆的方程为,由题意知:左焦点为所以,解得, 故椭圆的方程为(方法2、待定系数法)4分(2)设,由:,两式相减,得到所以,即, 9分同理,所以,又因为直线的斜率之和为0,所以 13分方法2:设直线:,代入椭圆,得到,化简得以下同。 13分19解:(1)2分当时,0-0+递增极大递减极小递增所以,在和上单调递增;在上单调递减。当时,在上单调递增。当时,来源:学.科.网+0-0+递增极大递减极小递增所以,在和上单调递增;在上单调递减。8分(2)法一、因为,所以由得,即函数对恒成立由()可知,当时,在单调递增
7、,则,成立,故。当,则在上单调递增,恒成立,符合要求。当,在上单调递减,上单调递增,则,即,。综上所述,。 13分法二、当时,;当时,由得,对恒成立。设,则由,得或-0+递减极小递增,所以,。 13分20解:(1)由于此时,又因为是在的条件下,有 (时取最大值),所以此时有。4分(2)由,可得:,解此方程组可得:,从而。当时,解方程 此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为(写出一个即可),其中且。当时,同理可得,相应的(写出一个即可),其中且 9分(3)解方程组从而向量与平行,从而有应满足:。当时,有唯一的特征值,且。具体证明为:由的定义可知:对任意的有:,所以为特征值。此时。满足:,所以有唯一的特征值。来源:学科网ZXXK在的条件下,从而有。14分