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1、个人收集整理 勿做商业用途第三讲 数列与探索性新题型的解题技巧金堂中学 刘际成选编【命题趋向】从2012年高考题可见数列题命题有如下趋势:1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点。3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用。4。解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等。因此复习中应注意：1。数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等。2.运用方程的思想解等差
2、（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3。分类讨论的思想在本章尤为突出。学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q1两种情况等等。4。等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外。如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差(比）数列来解决等.复习时,要及时总结归纳。5。深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键。6.解题要善于总结基本数学方法。如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯,定能达到事半
3、功倍的效果。7数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用。【考点透视】1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.4数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面,等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，
4、试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【例题解析】考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.典型例题例1在德国不来梅
5、举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f （n)表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）。 思路启迪：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12，3,4, 推测出第n层的球数。解答过程:显然.第n堆最低层(第一层)的乒乓球数，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和,即所以：例2将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0，得到如图所示的01三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的
6、是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。解：第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是=32应填，32考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且;我们可把
7、各个差列出来进行求和，可得到数列的通项. 再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题。例3数列中，（是常数，),且成公比不为的等比数列（I)求的值；（II）求的通项公式思路启迪:（1）由成公比不为的等比数列列方程求；（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式。解：（I），,因为成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故（II)当时，由于， ， ，所以又，故当时，上式也成立，所以小结：从特殊的事例,通
8、过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法,在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.例4已知数列满足,，若， 则 ( B ）（） （) （） （） 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.解答过程：, .相叠加.， 。， ， ，。解答过程2：由得：， ，因为.所以：.解答过程3：由得：，从而 ；;。叠加得：。， 。 ， 从而.小结:数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式.对连续两项递推，可转化为;对连续三项递推的关系如果方程有两个根，则上递推关系式可化为或.考点3
9、数列的通项与前n项和之间的关系与应用与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件,求通项时一定要验证是否适合.解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子。例5在等比数列中，前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ )(A) （B) （C） （D）命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力.过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列,则即，所以，故选择答案C.例6。已知在正项数列a n中,S n表示前n项和且,求a n.思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式.解答过程1:由已知，得当n=1时,a1=1；当n2时，a
10、n= S nS n1,代入已知有，.，又，故。,是以1为首项，1为公差的等差数列，故.解答过程2：由已知，得当n=1时,a1=1；当n2时因为，所以。，因为，所以，所以。考点4。 数列中与n有关的等式的理解与应用对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为得到另外的式子.也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3等，得到一些等式归纳证明.例7已知数列满足 (nN）(）求数列的通项公式；（）若数列满足 （nN*),证明： 是等差数列；思路启迪：本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力.把递推关系式变形转化解答过程： (I）解：是以为首项,2为公比的等比数列。即(II）
11、证法一： ，得即 ，得即故是等差数列.考点5 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”.本着化多为少的原则,解题时需抓住首项和公差（或公比）.另外注意等差、等比数列的性质的运用。例如(1）等差数列中，若，则；等比数列中，若,则 。 （2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中(），成等比数列。其中是等比数列的前n项和；（3)在等差数列中,项数n成等差的项也称等差数列。 （4)在等差数列中，； 。在复习时,要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式。注意方程思想、整体思想
12、、分类讨论思想、数形结合思想的运用.典型例题例8已知等差数列的前n项和为Sn,若,且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200( ）A100 B。 101 C.200 D。201命题目的：考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。过程指引：依题意，a1a2001，故选A例9某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d0）， 因此，历年所交纳的储备金数目a1， a2, 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府,不仅采用固定利率，而且计算复利。 这就是说，如果固定年利率为r（r0），那么， 在第n年末
13、，第一年所交纳的储备金就变为 a1(1+r)n1,第二年所交纳的储备金就变成 a2（1+r）n2,。 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。（)写出Tn与Tn1(n2）的递推关系式;（)求证Tn=An+ Bn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.命题目的：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力。 解:（I）我们有 （II）反复使用上述关系式，得 在式两端同乘1+r,得 ，得2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用考点6 等差、
14、等比数列前n项和的理解与应用等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数。等比数列的前n项和公式（)，因此可以改写为是关于n的指数函数，当时,。例10已知数列的前n项和Sn=n29n,第k项满足5ak8，则k=A9B8C7D6思路启迪：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力解：此数列为等差数列，,由52k-108得到k=8例11已知数列an和bn满足:且bn是以q为公比的等比数列。 （)证明:； （）若证明数列是等比数列； （）求和：。命题目的：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法1：(I）证：由，有， (II）证:,，是首项为5，以为公比的等比数列（III）由（II)得，于是当时
