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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2018. 4本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，且，则可以是(A) (B) (C) (D) （2）已知向量，则(A) (B) (C) (D) （3）执行如图所示的程序框图，输出的值为(A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形及其内部的点组成的集合记为且为中任意一点，则的最大值为(A)
2、(B) (C) (D) （5）已知，为正实数，则“，”是“”的( )(A)充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作，则的值不可能是(A) 1(B) (C) (D) （7）下列函数中，其图象上任意一点的坐标都满足条件的函数是(A) (B) (C) (D) （8）已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是（A）的取值范围为（B）的取值范围为（C）的取值范围为（D）若，则实数的取值范围为第二部分（非选择题，共110分）二、
3、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）复数 _.（10）已知点是双曲线的一个顶点，则的离心率为_.（11）直线（为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为_.（12）在中，若，则（13）一次数学会议中，有五位教师来自三所学校，其中学校有位，学校有位，学校有位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_种不同的站队方法.（14）已知 若有两个零点，则的取值范围是_ ； 当时，则满足的的取值范围是_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知 （）求的值；（）求的单调递增区间.（16）（本小题13分）流行性感冒多由病毒
4、引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播. 科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度。第一季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%b%（）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；（）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙
5、两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列；（）若，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值.（只需写出结论）（17）（本小题14分）已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为 的正方形，ABE和BCF均为正三角形在三棱锥P-ABC中：（）证明：平面PAC平面ABC；（）求二面角A-PC-B的余弦值； （）若点在棱上，满足，点在棱上，且，求的取值范围. （18）（本小题13分）已知函数（）当时，求函数的单调递增区间；（）当时，若函数的最大值为，求的值.（19）（本小题14分）已知椭圆：的离心率为，且点在
6、椭圆上.设与平行的直线与椭圆相交于两点，直线分别与轴正半轴交于两点.（）求椭圆的标准方程；（）判断的值是否为定值，并证明你的结论.（20）（本小题13分）设是由，组成一个行列的数表（每个数恰好出现一次），且.若存在，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”，为数表的一个“值”. 对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作.（）判断下列数表是否是“数表”.若是，写出它的一个“值”，；（）求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的；（）在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望. 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学(理)参考答案与评分标准 2018.4一、选择题共8
7、小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号12345678答案CADBADDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。题号91011121314答案2 48 注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。15. （本题满分13分）（） 3分（） 因为函数的单调递增区间为（），令（），解得 （），故的单调递增区间为（）13分16. （本题满分13分）（）设事件：从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播. 用表示事件抽取的月份为第月，则 共12个基本事件， 共6
8、个基本事件， 所以，.4分（）在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故所有可能的取值为，. ， 随机变量的分布列为012（）的最大值为，最小值为.13分17.（本题满分14分）（）方法1：设的中点为，连接，. 由题意，因为 在中，为的中点所以 ， 因为 在中，所以 因为 ，平面 所以 平面因为 平面4分所以 平面平面方法2：设的中点为，连接，. 因为 在中，为的中点所以 ， 因为 ，所以 所以 所以 因为 ，平面 所以 平面因为 平面4分所以 平面平面方法3：设的中点为，连接，因为在中， 所以 设的中点， 连接，及.因为 在中，
9、为的中点所以 .因为 在中，为的中点所以 .因为 ，平面所以 平面因为 平面所以 因为 ，平面 所以 平面因为 平面4分所以 平面平面（）由平面，如图建立空间直角坐标系，则， 由平面，故平面的法向量为 由，设平面的法向量为，则由得：令，得，即 由二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为9分（）设，则令得 即，是关于的单调递增函数， 当时，所以14分 18. （本题满分13分）（）当时， 故 令，得 故的单调递增区间为4分（）方法1： 令 则 由， 故存在， 故当时，；当时，极大值 故 故，解得13分 故的值为.（）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在 ，使
10、得， 等价于的最大值为.， 令，得.极大值故的最大值为，即.13分（19）（本小题14分）（）由题意， 解得：， 故椭圆的标准方程为5分（）假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，1)，直线l的方程为，即. 联立方程，得， 此时，直线l与椭圆C相切，不合题意.故直线TP和TQ的斜率存在.方法1：设，则直线，直线故， 由直线，设直线（）联立方程， 当时， 14分方法2：设，直线和的斜率分别为和 由，设直线（）联立方程， 当时， 故直线和直线的斜率和为零故故 故在线段的中垂线上，即的中点横坐标为2故14分20.（本题满分13分）（）是“数表 ”，其“值”为3，不是“数表”.3分（
11、）假设和均是数表的“值”， 若，则； 若，则 ； 若，则一方面， 另一方面；矛盾. 即若数表是“数表”，则其“值”是唯一的.8分（）方法1：对任意的由，组成的行列的数表.定义数表如下，将数表的第行，第列的元素写在数表的第行，第列，即（其中，）显然有： 数表是由，组成的行列的数表 数表的第行的元素，即为数表的第列的元素 数表的第列的元素，即为数表的第行的元素 若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值 则数表中，是第列中的最大值，也是第行中的最小值.定义数表如下，其与数表对应位置的元素的和为362，即（其中，）显然有 数表是由，组成的行列的数表 若数表中，是第列中的最大值，也是第列中的最小值 则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值特别地，对由，组成的行列的数表 数表是由，组成的行列的数表 若数表中，是第行中的最大值，也是第列中的最小值 则数表中，是第列中的最小值，也是第列中的最大值即对任意的，其“值”为（其中，），则，且其“值”为.记，则，即数表与数表的“值”之和为，故可按照上述方式对中的数表两两配对，使得每对数表的 “值”之和为，故的数学期望.13分方法2：所有可能的取值为.记中使得的数表的个数记作，则. 则，则，故，.13分 第21页 共21页
