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1、三角形的五心与向量（一）三角形的内心例题1 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：，则的轨迹一定通过的( )A内心B垂心C重心D外心【解析】、分别表示向量、方向上的单位向量的方向与的角平分线一致又，向量的方向与的角平分线一致一定通过的内心选练习1. 已知满足，则为( )A顶角为的等腰三角形B等腰直角三角形C有一个内角为的直角三角形D等边三角形【解析】设，则，而，所以是的角平分线，又，所以为等腰三角形，所以是等边三角形.练习2.O是平面内的一定点，A,B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（ ）A内心 B外心 C重心 D垂心【解析】、分别表示向量、
2、方向上的单位向量的方向与BAC的角平分线重合又可得到 （）向量的方向与BAC的角平分线重合，一定通过ABC的内心，选A（二）三角形的重心例题2 已知中，向量，则点的轨迹通过的（ ）A垂心B内心C外心D重心【解析】设为中点，则，即点在中线上可知点轨迹必过的重心，选练习1过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，若，则实数的值为（ ）A或 B 或 C或 D或【解析】设,因为G为的重心，所以,即由于三点共线，所以，即因为，所以即有，解之得或，选B练习2.已知O是ABC所在平面上的一点，若= , 则O点是ABC的( )A外心B内心C重心D垂心【解析】作BDOC，CDOB，连OD，OD与BC相交于G，则B
3、GCG，（平行四边形对角线互相平分），又，可得：，A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理：BO，CO的延长线也为ABC的中线O为三角形ABC的重心选C练习3.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的( )A内心B外心C重心D垂心【解析】设它们等于t， 而表示与共线的向量,而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心，选C练习4.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的_心【解析】设D为BC的中点，则，于是有，P，D三点共线，又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，于是点P的轨迹一定通过的重心例题3 是
4、平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过_心（内心、外心、垂心或重心）【解析】动点P满足（22）（1+2）（R），且，P、C、D三点共线，又D是AB的中点，CD为中线，点P的轨迹一定过ABC的重心故答案为重心（三）三角形的外心例题4 已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于( )A B C D【解析】因为，所以点为的重心，延长交于，则为的中点，又为外接圆的圆心，所以，则，同理可得，为等边三角形，故选B.练习1.已知，点，为所在平面内的点，且， 则点为的 ( )A内心B外心C重心D垂心【解析】因为，所以，即 又因为 ，所以，即所以，即所以 ,所以，同理 ，所以为的
5、外心，选B练习2.在中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ）A垂心B内心C重心D外心【解析】设为中点，则 为的垂直平分线 轨迹必过的外心选练习3.是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为_【解析】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.练习4.已知O是ABC外接圆的圆心，AB=6，AC=15，=+，2+3=1，则cosBAC=_【解析】如图所示，过O点分别作ODAB，OEAC，垂足分别为D，E则AD=DB，AE=EC则，则 因为=+，所以，即18=36x+90ycosA，=90xcosA+225y，又2x+3y=1，联立
6、解得cosA=（四）三角形的垂心例题5 点P为所在平面内的动点，满足，则点P的轨迹通过的A外心B重心C垂心D内心【解析】处理原式得到故所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C。练习1. 在中，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心【解析】；OBAC，同理由 ，得到OABC 点O是ABC的三条高的交点，选D练习2. 是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足 ，则动点的轨迹一定经过的（ ）A重心 B垂心 C外心 D内心【解析】（），即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过ABC的垂心，选B（五）三角形问题综合例题6 在中，、分别为内角、的对边，点为线段上一点，则的最大值为（）A
7、BCD【解析】，化简可得，且，均为单位向量，过分别作，垂足分别为，则，两式相加可得，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为，选B练习1. 若点是所在平面内的一点，且满足，则为（ ）A等腰三角形 B正三角形 C直角三角形 D以上都不对【解析】即， ， ，即，三角形为等腰三角形，选练习2.已知是直线上任意两点，是外一点，若上一点满足，则的值是_.【解析】A、B、C三点共线，且coscos2cos+cos21，（三点共线的充要条件）cos21cos，cos1cos2sin2sin6cos3cos（1sin2）cos（1cos）coscos2cos（1cos）2cos1sin2+si
8、n4+sin6cos+cos2+2cos1cos+1cos+2cos12cos，由cos21cos得cos或cos1，舍去，cos原式2cos1练习3已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则当与的面积之比为时，实数的值为_.【解析】设，三点共线，可设， ，为的重心， ， ， ，两式相乘得 ，代入即解得或即或练习4. 已知中，点在线段上，且，延长到，使设（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值【解析】（1）为BC的中点，可得，而（2）由（1）得，与共线，设，即，根据平面向量基本定理，得，解得练习4.已知P是三角形ABC所在平面内的任意一点，且满足则:_【解析】取D，E分别为AC，BC
9、的中点，则2，2，（2（），P是DE上靠近E的三等分点，故答案为：1:3（六）五心综合例题7 点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）则点O依次为ABC的（ ）A内心、外心、重心、垂心 B重心、外心、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心 D外心、内心、垂心、重心【解析】 由三角形“五心”的定义， 我们可得：（1）时，得在三角形中，是边的中点， 则，即是三角形的重心，为的重心；（2）时，得，即,所以.同理可知,所以为的垂心；（3），当时，即， ，点在三角形的角平分线上；同理，点在三角形的角，角平分线上；点定的一定是的内心；（4）时，是边的中点，则，故OD为AB的中垂线，同理是边的中点，,故OE为CB的中垂线，所以为的外心.选练习1.已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点，若,则与的面积之比为_.【解析】设，三点共线，可设，为的重心，解得，微信公众号：数学三剑客微信公众号：数学第六感微信公众号：ABC数学如需查看更多内容，请微信扫上方二维码获取
