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1、 第24讲 等和线、极化恒等式、三角形五心玩前必备1.等和线平面内一组基底OA, OB 及任一向量OP,OP = lOA + mOB (l, m R ) ，若点 P在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则l+ m= k (定值) ,反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线成为等和线.当等和线恰为直线 AB 时， k = 1 ；当等和线在O 点和直线 AB 之间时， k (0,1) ；当直线 AB 在O 点和等和线之间时， k (1, +) ；当等和线过O 点时， k = 0 ；若两等和线关于O 点对称，则定值 k 互为相反数；定值 k 的变化与等和线到O 点的距离成正比
2、；2.等和线定理应用背景:在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.3.极化恒等式：在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是的中线，则定理2 （极化恒等式的三角形模式）在中，若M是BC的中点，则有4.三角形的五个“心”(1).重心：三角形三条中线交点.(2).外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。 (3).内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 是三角形的内切圆的圆心，称内心。(4).垂心：三角形三边上的高相交于一点.5.三角形“
3、四心”的向量表示(1)在ABC中，若|或222，则点O是ABC的外心(2)在ABC中，若0，则点G是ABC的重心(3)对于ABC，O，P为平面内的任意两点，若，(0，)，则直线AP过ABC的重心(4)或者|2|2|2|2|2|2，则点O为三角形的垂心(5)|0，则点O为三角形的内心(6)对于ABC，O，P为平面内的任意两点，若(0)，则直线AP过ABC的内心玩转典例题型一 等和线定理应用例1（2017新课标）在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上若，则的最大值为（ ）A3 B C D2例2给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动若xy，其中x，yR，求x
4、y的最大值例3(2020杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB，BC，P为矩形内一点，且AP，若(，R)，则的最大值为_玩转跟踪 1.(2020菏泽一诊)如图,在扇形OAB中,C为弧AB上的一个动点若,则的取值范围是 2.如图，在正六边形ABCDEF中，P是CDE内(包括边界)的动点，设(，R)，则的取值范围是_3如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_题型二 极化恒等式的应用例4(2020广东七校联考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|，则的取值范
5、围为_例5（2017新课标）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A B C D玩转跟踪 1.在中，若，在线段上运动，的最小值为 2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为_3在中，若是所在平面内一点，且，则的最大值为 题型三 三角形五心例6已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心例7已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, . 则P点的轨迹一定通过ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心
6、 D. 垂心例8已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心例9已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, , 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心玩转跟踪1.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足, 则动点P的轨迹一定通过ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心2.已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心3.已知O是ABC所在平面上的一点，若，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心4.已知O是ABC所在平面上的一点，若= 0，则O点是ABC的( )A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
