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1、压轴13 解三角形一、单选题1. 已知ABC中，AB=2，BC=3，CA=4，则BC边上的中线AM的长度为A. 312B. 31C. 231D. 314【答案】A【解析】在ABC中，AB=2，BC=3，CA=4，则cosB=AB+BCCA2ABBC=2+34223=14，在ABM中，AB=2，BM=32，所以AM=AB+BM2ABBMcosB=2+94+223214=314，故AM=312故选A2. ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的命题是A. 若acosA=bcosB=ccosC，则ABC一定是等边三角形B. 若acosA=bcosB，则ABC一定是等腰三角
2、形C. 若bcosC+ccosB=b，则ABC一定是等边三角形D. 若a2+b2c20，则ABC一定是锐角三角形【答案】A【解析】解：A.若acosA=bcosB，则由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,，同理，A=C，所以A=B=C，则ABC是等边三角形，所以命题正确；B.acosA=bcosBsinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B，所以A+B=2或A=B，命题不正确;C.bcosC+ccosB=bsinBcosC+sinCcosB=sinBsinA=sinBA=B，所以A=B，则ABC一定是等腰三角形，命题不正确;D.若a2+b2c20，由余弦定理得cosC=a
3、2+b2c22ab0，C为锐角，但是ABC不一定是锐角三角形，命题错误故选A3. 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若3ACABBABC=2CACB，2b=bcosC+ccosB，则cosC的值为 A. 13B. 13C. 18D. 18【答案】D【解析】解：由若可得，3bccosAaccosB=2abcosC由余弦定理得3(b2+c2a2)(a2+c2b2)=2(a2+b2c2)，即b2+2c2=3a2，因为2b=bcosC+ccosB，由正弦定理可得，2sinB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA，2b=a由得，11b2=2c2，故选D4. 如图
4、，设Ox、Oy是平面内相交成45角的两条数轴，e1、e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在仿射坐标系xOy中的坐标若在此仿射坐标系下，OA的坐标为(2,0)，OB的坐标为(5,32)，则cosAOB=A. 21313B. 31313C. 54343D. 38643【答案】A【解析】解：根据题意，若OA=(2,0)，OB=5,32则OA=2e1，OB=5e132e2，所以AB=OBOA=3e132e2，由Ox，Oy是平面内相交成45角的两条数轴，所以|OA|2=4e12=4，则|OA|=2；OB2=25e12302e1e2+1
5、8e22=13，则OB=13，AB2=9e12182e1e1+18e22=9，则AB=3，所以cosAOB=OA2+OB2AB22OAOB=4+1392213=21313，故选A5. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosB=2cb，若a=22，ABC的中线AD=2，则ABC的面积为A. 3B. 2C. 23D. 4【答案】A【解析】解： 2acosB=2cb，由正弦定理，得2sinAcosB=2sinCsinBsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入，整理，得sinB=2cosAsinBsinB0，cosA=12，又0A，A=3由AD
6、=12AB+AC可得，AB2+AC2+2ABAC=16，即c2+b2+cb=16又由余弦定理，得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=8又两式可得bc=4.ABC的面积S=12bcsinA=12432=3故选A6. 在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S=12bcsinA，若S+a2=(b+c)2，则cosA等于A. 45B. 45C. 1517D. 1517【答案】D【解析】解：S+a2=(b+c)2，S=b2+c2a2+2bc，12bcsinA=2bccosA+2bc，化为sinA4cosA=4，与sin2A+cos2A=1解得cosA=1517或cosA=
7、1cosA=1舍去cosA=1517故选D7. 在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长，若cosC+sinC2cosB+sinB=0，则a+bc的值是A. 3+1B. 2C. 21D. 2+1【答案】D【解析】解：由去分母得，整理得，由三角形的有界性可知，C=B,C+B=2C=B=4ABC为等腰直角三角形所以a+bc=2+1，故选D8. 设a,b,c分别是ABC的内角A，B，C的对边，已知D是BC边的中点，且a2b2c2=1，则ABDA+DB等于A. 172B. 17C. 12D. 172【答案】C【解析】解：cosA=b2+c2a22bc，a2b2c2=2bccosA=1，则b
8、ccosA=12，D是BC边的中点，DA=12AB+AC,DB=12CB=12CA+AB=12ABAC，AB(DA+DB)=ABAC=bccosA=12故选C9. 如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.设DF=3AF=6，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是A. 37 B. 217 C. 413 D. 21313【答案】A【解析】解：由题意，DF=3AF=6，可得AF=BD=2，所以AD=8，且，所以在三角形ADB中，解得AB=221，所以概率P=34DF234AB2=3684=37故选A10. 已知ABC的内角A，B，C所对的
9、边分别为a，b，c，若cosC=154，bcosA+acosB=3，则ABC外接圆的半径为A. 23B. 22C. 4D. 6【答案】D【解析】解：bcosA+acosB=3，由余弦定理可得bb2+c2a22bc+aa2+c2b22ac=3，整理解得c=3，又cosC=154，角C为三角形ABC的内角，可得sinC=1cos2C=14，设三角形的外接圆的半径为R，则2R=csinC=314=12，则R=6故选D二、填空题11. 如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=7，若cosBAD=714，sinCBA=216，则BC=_【答案】3【解析】解：由题意在ADC中，AD=1
10、，CD=2，AC=7，由余弦定理可得cosCAD=AD2+AC2CD22ADAC=277，sinCAD=1cos2CAD=217，同理由cosBAD=714可得sinBAD=32114，sinCAB=sin(BADCAD)=sinBADcosCADcosBADsinCAD=32114277+714217=32，在ABC中由正弦定理可得BC=ACsinCABsinCBA=732216=3答案为312. 在ABC中，若cosB=45，a=10，ABC的面积为42，则的值为_【答案】162【解析】解：，B(0,)，ABC的面积为42，c=14，由余弦定理得，解得b=62，又，故答案为16213. 若
11、满足条件c=22，sinAa=cosCc的ABC有两个，则边长BC的取值范围是【答案】(22,4)【解析】解：因为sinAa=cosCc，所以acosC=csinA，由正弦定理可得sinAcosC=sinCsinA，因为三角形中sinA0，所以tanC=1，C为三角形内角，即C=4过B作AC边上的高BD，垂足为D，则BD=22BC，若存在两个三角形ABC，则，解得BC22,4，故答案是(22,4)14. 在ABC中，角A的平分线交BC于D，BD=3，CD=2，则ABC面积的最大值为_【答案】15【解析】解：ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD=3，CD=2，如图所示：由三角形内角平分线定理
12、得ABAC=BDCD=32，设AC=2x，BAC=2，则AB=3x，；由余弦定理得，52=4x2+9x222x3xcos2，即25=13x212x2cos2，解得x2=251312cos2；ABC面积为S=122x3xsin2=3x2sin2=75sin21312cos2=752tan1+tan213121tan21+tan2=150tan1+25tan2=1501tan+25tan15021tan25tan=15，当且仅当tan=15时“=”成立；所以ABC面积的最大值为15故答案为15三、解答题15. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足ccosA+acosC=a.(1)求
13、ab的值；(2)若a=1，c=3，求ABC的面积【答案】解：(1)由正弦定理，ccosA+acosC=a，可化为sinCcosA+cosCsinA=sinA，也就是sin(A+C)=sinA，由ABC中A+B+C=可得sin(A+C)=sin(B)=sinB，即sinB=sinA.由正弦定理可得b=a，故ab=1(2)由a=1可知b=1.而c=3，由余弦定理可知cosC=a2+b2c22ab=1+13211=12又0C，于是C=23，SABC=12absinC=1211sin23=3416. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知acosB+bcosA=2(1)求c的值；(2)若C=23，试写出ABC的周长f(B)，并求出f(B)的最大值【答案】解：(1)由acosB+bcosA=2及余弦定理得：aa2+c2b22ac+bb2+c2a22bc=2，整理解得c=2(2)由c=2和C=23及正弦定理，得asinA=bsinB=csinC=2sin23=433，ABC的周长f(B)=a+b+c=433sinA+433sinB+2由三角形内角和为，得A=3B，f(B)=433sin(3B)+433sinB+2=2+433(12
