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1、压轴26 两条直线的位置关系一、单选题1. 直线l：2mx+ym1=0与圆C：x2+(y2)2=4交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A. x4y+3=0B. 2x4y+3=0C. 2x+4y=3=0D. 2x+4y+3=0【答案】B【解析】解：根据题意，圆C的圆心C为(0,2)，半径r=2；已知直线l：2mx+ym1=0恒过点P(12,1)；当CP与AB垂直时，即P为AB的中点时，弦长|AB|最短，此时kCP=21012=2，则kAB=12；此时2m=12m=14；此时直线AB的方程为12x+y34=0，变形可得2x4y+3=0故选B2. 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)(x
2、11的图象上任意两点，且函数f(x)在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是A. x10B. 0x11，当x1时，fx=ex，当x1时，fx=1x，所以fx1fx2=ex1x2=1，即x2=ex1，所以x1x2=x1ex1x11，令gx=xexx1，则gx=exx+1，所以当10，当x1时，gx0，且x1x2).即有k+2kx14x121=k+2kx24x221，化为4(x1+x2)=(k+2k)x1x2，而x1x2(x1+x22)2，4(x1+x2)16k+2k对k2,+)都成立，令g(k)=k+2k，k2,+)，即g(k)在2,+)递增，g(k)g(2)=3，16k+2k163，x
3、1+x2163，即x1+x2的取值范围是(163,+)故选D8. 设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mxym+3=0交于点P(x,y)，则|PA|2+|PB|2的值为A. 5B. 10C. 102D. 17【答案】B【解析】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0)，动直线mxym+3=0即m(x1)y+3=0，经过点定点B(1,3)，注意到动直线x+my=0和动直线mxym+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=102+302=10故选B9. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很
4、多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：(xa)2+(yb)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离，结合上述观点，可得y24y+20+y22y+10的最小值为A. 25B. 52C. 8D. 6【答案】B【解析】解：设f(x)=x24x+20+x22x+10，则f(x)=(x2)2+(04)2+(x1)2+(03)2，f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(2,4)与B(1,3)的距离之和设点A(2,4)关于x轴的对称点为A，则A的坐标为(2,4)要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|+|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|+|MB|=|MA|+|MB|AB|=
5、(21)2+(43)2=52，即f(x)=x24x+20+x22x+10的最小值为52也即y24y+20+y22y+10的最小值为52故选B10. 对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0，l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b21(b0)的位置关系是“平行相交”，则实数b的取值范围为A. (2,322)B. (0,322)C. (0,2)D. (2,322)(322,+)【答案】D【解析】解：圆C的标准方程为
6、(x+1)2+y2=b2，圆心(1,0)，半径r=b由两直线平行，可得a(a+1)6=0，解得a=2或a=3.当a=2时，直线l1与l2重合，舍去；当a=3时，l1：xy2=0，l2：xy+3=0.由l1与圆C相切，得b=|12|2=322，由l2与圆C相切，得b=|1+3|2=2当l1、l2与圆C都外离时，b0相切于点M，且M为线段AB的中点若这样的直线恰有4条，则r的取值范围是 【答案】(32,392)【解析】解：如图：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，k0，由题意得y12=3x1，y22=3x2，两式相减，得(y1+y2)(y1y
7、2)=3(x1x2)，所以y1+y22y1y2x1x2=32，即ky0=32，因为直线AB与圆相切于点M，所以y0x04=1k，所以x0=52，即M的轨迹是直线x=52将x=52代入y2=3x，得y2=152，302y0302，点M在圆上，(x04)2+y02=r2，r2=y02+94，直线l恰有4条，y00，94r2394，故r(32,392)，直线AB有2条；当直线AB的斜率不存在时，满足条件的直线有2条；所以当直线AB恰有4条时，r(32,392)，故答案为(32,392).13. 已知圆C1：x2+y2+2x8y+8=0，若圆C2与圆C1关于直线y=x+2对称，且与直线l：mx+y+m2=0交于A、B两点，则|AB|的取值范围是_【答案】27,6【解析】解：圆C1：x2+y2+2x8y+8=0的标准方程为(x+1)2+(y4)2=9，设圆C1的圆心C1(1,4)关于直线y=x+2的对称点为C2(a,b)，则b+42=a12+2b4a+1(1)=1，解得a=2b=3
