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1、压轴09 导数中的零点问题一、单选题1. 已知函数f(x)=x+12,x0,122x1,x12,2，若存在x1,x2,当0x1x22时，f(x1)=f(x2)，则x1fx2的取值范围是A. 224,12)B. 224,12C. 2+24,1)D. 2+24,1【答案】B【解析】解：作出函数fx=x+12,x0,12)2x1,x12,2)的图象，如图所示：存在x1，x2，当0x1x22时，f(x1)=f(x2)，0x112，x+12在0,12)上的最小值为12，2x1在12,2)的最小值为22，x1+1222，x1212，212x112，f(x1)=x1+12，f(x1)=f(x2)，x1f(x
2、2)=x1f(x1)=x12+12x1，令y=x12+12x1 (212x112)，y=x12+12x1为开口向上，对称轴为x=14的抛物线，y=x12+12x1在区间212,12)上递增，当x=212时，y=224，当x=12时，y=12，y224,12)，即x1f(x2)的取值范围为224,12).故选B2. 已知函数f(x)=kx，若存在xi1e,e，(i=1,2)使得f(xi)=g(xi)，(i=1,2)，则实数k的取值范围是( )A. 1e2,12e)B. (12e,1eC. (0,1e2)D. (1e,+)【答案】A【解析】解：由f(x)=g(x)得，令，由得x=e，故t(x)在1
3、e,e上单调递增，在e,e上单调递减，又t(e)=12e，t(1e)=e2，t(e)=1e2，故xi1e,e，(i=1,2)使得f(xi)=g(xi)，(i=1,2)，则实数k的取值范围是1e2,12e)，故选：A3. 已知奇函数fx=16x3+12bx2+cx，若方程fxlnx=0在区间1e,e(其中e为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是A. 112e2,12B. 112e2,12C. 112e2,12D. 112e2,12【答案】B【解析】解：f(x)=16x3+12bx2+cx，f(x)=12x2+bx+c，f(x)是奇函数，b=0，f(x)=12x2+c，设g(
4、x)=f(x)lnx=12x2+clnx，g(x)=x1x=x21x，令g(x)=0得x=1，当1x0，g(x)在(1,e)上单调递增，当1ex1时，g(x)0，g(x)在(1e,1)上单调递减，要使方程f(x)lnx=0在区间1e,e(其中e为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，只需g(x)在区间1e,e上有两个不同的零点，g(1)0g(1e)0g(e)0，即12+c012e2+c+1012e2+c10,解得112e2c0)有2个不同的零点，则实数m的取值范围是A. (0,2)B. (1,2)C. (1,+)D. (2,+)【答案】D【解析】解：fx=x+1ex+1，当x,1时，f(x)0
5、；则f(x)在,1上为减函数，在1,+上为增函数，如图所示，作出f(x)的图象，令f(x)=t，则t2+mt+14m+12=0，因为m0，所以方程t2+mt+14m+12=0有两个负根所以g(x)=f(x)2+mf(x)+14m+12(m0)有2个不同的零点等价于t2+mt+14m+12=0一个解大于1，另一个解小于1，则12m+14m+122故选D6. 已知函数f(x)=xe2x，下列说法正确的是A. 任意m12e，函数y=f(x)m均有两个不同的零点B. 存在实数k，使得方程f(x)=k(x+2)有两个负数根C. 若f(a)=f(b)(ab)，则1a+b0D. 若g(x)=f(x)+lnx
6、，则g(x)有两个零点【答案】D【解析】解：函数f(x)=xe2x，f(x)=(1+2x)e2x，则当x,12时，f(x)0，则函数f(x)在,12上单调递减，在12,+上单调递增，可知：x=12时，函数f(x)取得极小值即最小值当x0时，f(x)0，f(12)=12e，则函数f(x)的大致图象如图所示，由图象可得：A.当12em0时，函数y=f(x)m有两个不同的零点，当m0时，函数y=f(x)m有1个零点，因此A不正确；B.存在实数k，方程f(x)=k(x+2)的根即为y=f(x)与y=k(x+2)的交点的横坐标，又y=k(x+2)恒过(2,0)，由图可知，方程有一正一负两根，或者有一个负
7、根，不可能为两个负数根，故B不正确；C.若f(a)=f(b)(ab)，结合图象可设b12a0，取a=14，fa=f14=14e，而f34=14e3e14e=fb，则b34，此时a+b0)，h(x)=2x1(2x+1)2ex，h(x)在(0,12)递减，在(12,+)递增，显然在x=12取得最小值e2，作h(x)的图象，并作y=t的图象，注意到h(0)=1，h(1)=e30，这里为方便讨论，考虑h(0)，当t1时，直线y=t与h(x)=ex2x+1只有一个交点即(x)只有一个零点(该零点值大于1)；当t=e2时f(x)=x1x2ex(2x+1)t在x=12两侧附近同号，x=12不是极值点；当t=
8、e3时函数(x)=ex(2x+1)t有两个不同零点(其中一个零点等于1)，但此时f(x)=x1x2ex(2x+1)t在x=1两侧附近同号，使得x=1不是极值点不合故选：D8. 函数f(x)=lnxax1,xb,x33x2+(2a)x1,xb.恒有零点的条件不可能是A. a3B. a2C. a0，b1D. a=0，be【答案】B【解析】解：当a=0，bln2130，函数此时无零点；当xb时，x33x2+(2a)x1=0等价于a+1=x13x=23，因为当x11=1，所以无解；当0x1时，显然无解；当1x2.1时，设hx=3x132x，hx=9x122，所以存在x01,2.1满足hx0=0，所以h
9、x在1,2.1上先单调递减，然后在单调递增；因为h1=20,h2.1=31.134.20，所以hx0在1,2.1上恒成立；所以hx=0无解，综上a=13，b=2.1时，函数fx无零点；故选B9. 若函数f(x)=ax332x2+1存在唯一的零点x0，且x00，得x(2,0)(0,2)；令g(x)22时函数f(x)=ax332x2+1存在唯一的零点x0，且x00)在(0,+)内存在零点则实数a的取值范围A. (0,eB. (0,1C. e,+)D. 1,+)【答案】D【解析】解：取a=1，此时f(x)=x2xlnxex1(a0)，当x=1时，f(1)=101=0，即在(0,+)内存在零点，故a=1可取，排除选项C;当a=12时，此时f(x)=12x212xln12xex1(a0)，则f(x)=x12ln12x12ex1，令g(x)=f(x)，则g(x)=112xex1，令h(x)=g(x)，则h(x)=ex1+12x2，因为y=ex1,y=12x2在(0,+)是减函数，故h(x)也为减函数，当x=1时，h(x)=12，故取0x01，当x=x0时h(x)=0，即当，即g(x)g(x)max=g(x0)=1ex0112x0，又h(x0)=ex01+12x02=0，故g(x)g(x)max=g(x0)=112x0212x00恒成立，f(x)单减，当x无限
