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1、类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题【典例1】如图，已知抛物线yax2bx4(a0)的对称轴为直线x3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MNy轴，求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)根据题意得，3，即b6a，则抛物线的解析式为yax26ax4，将B(8，0)代入得，064a48a4，解得a，则b，抛物线的解析式为yx2x4；(2)设直线BC的解析式为yk
2、xd，由抛物线解析式可知：当x0时，y4，即点C(0，4)，将B(8，0)，C(0，4)代入得：解得，直线BC的解析式为yx4，设点M的横坐标为x(0x8)，则点M的纵坐标为x2x4，点N的纵坐标为x4，点M在抛物线上，点N在线段BC上，MNy轴，MNx2x4(x4)x22x(x4)24，当x4时，MN的值最大，最大值为4；（3）存在令x2x40，解得x12，x28，A(2，0)，又C(0，4)，由勾股定理得，AC2，如解图，过点C作CD对称轴于点D，连接AC.抛物线对称轴为直线x3，CD3，D(3，4)当ACCQ时，DQ，当点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4，此时，点Q1(3，4)，当
3、点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4，此时点Q2(3，4)；当AQCQ时，设Q（3，t），则AQ2=（3+2）2+t2，CQ=9+（4-t）2，则（3+2）2+t2=9+（4-t）2，解得t=0，此时，点Q3(3，0)；当ACAQ时，AC2，点A到对称轴的距离为5，2AC2，ABC为锐角三角形(3)存在满足条件的点P，使得PAC是以AC为底的等腰三角形理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂线交抛物线于点P，直线MP与抛物线必有两个满足条件的交点P，A(0，6)，C(6，0)，点M的坐标为(3，3)，且OA=OC，直线MP过点O，设直线MP的解析式为ykx，将点M(3，3)代入得，k1
4、，即直线MP的解析式为yx，联立，解得或，点P的坐标为(2，2)或(2，2)【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y2x10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ABC的形状；(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，PAQA?(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请
5、说明理由【解析】解：(1)直线y2x10与x轴、y轴相交于A、B两点，A(5，0)，B(0，10)，设过O、A、C三点的抛物线的解析式为yax2bx(a0)，把点A(5，0)和C(8，4)代入可得，解得，抛物线的解析式为yx2x；A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，AB2125，AC225，BC2100，AB2AC2BC2，ABC是直角三角形(2)如解图，连接AP，AQ，当P，Q运动t秒，即OP2t，CQ10t，在RtAOP和RtACQ中，RtAOPRtACQ，OPCQ，2t10t，t，t5，当运动时间为秒时，PAQA；(3)存在由题可得，抛物线的对称轴直线为x，设点M的坐标为( ，b
6、)，利用点的坐标可求得AB210252125，MB2()2(b10)2，MA2()2b2，MAB是等腰三角形，可分以下三种情况讨论：当ABMA时，即125()2b2，解得b，即点M的坐标为(，)或(，)；当ABBM时，即125()2(b10)2，解得b10，即点M的坐标为(，10)或(，10)；当MBMA时，即()2(b10)2()2b2，解得b5，此时点A、M、B共线，故这样的点M不存在综上所述，存在点M，使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为(，)或(，)或(，10)或(，10)【典例4】如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点（1）求抛物线的函数表达式；（2
7、）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点连接，的面积与的面积之比为1：7点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为当为何值时，的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围（直接写出结果即可）【答案】（1）；（2）所以：当时， 的最大面积；（3）【解析】【分析】（1）把和点代入：，从而可得答案；（2）过作轴于 过作于，则 利用的面积与的面积之比为1：7，求解的坐标，再求解的解析式及的坐标，设过作轴于，交于 建立的面积与的函数关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案；（3）记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，先求解的坐标，可得当时，有 结合
8、已知条件可得答案【详解】解：（1）把和点代入：， 解得： 所以：抛物线为：，（2）,令 则 解得： 过作轴于 过作于，则 的面积与的面积之比为1：7， 设为： 解得： 为： 解得： 过作轴于，交于 设 则 当最大，则的面积最大，所以：当时， 所以的最大面积（3） 令 记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于， 令 则 解得： 抛物线的顶点 当时， 当时，的取值范围是， 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，是典型的压轴题，掌握以上相关的知识是解题的关键【典例5】如图
9、，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标【答案】（1），直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或【解析】【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；（3）根据题意画出图形，分情况讨论：如图，当点在轴
10、正半轴上时，记为点过点作直线，垂足为再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案【详解】解：（1）令 ，设直线的函数表达式为：，把代入得： 解得： 直线的函数表达式为：（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为，分两种情况：当时，得解得：，（舍去）当时，点的坐标为当时，得解得：，（舍去）当时，点的坐标为当点是线段的三等分点时，点的坐标为或（3）解：直线与轴交于点，点坐标为分两种情况：如图，当点在轴正半轴上时，记为点过点作直线，垂足为则，即又，连接，点的坐标为，
11、点的坐标为，轴，点的坐标为如图，当点在轴负半轴上时，记为点过点作直线，垂足为，则，即又，由可知，点的坐标为 点的坐标为或【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键【典例6】如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线ymxn经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的
12、距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【解析】解：(1)依题意，得，解得抛物线的解析式为yx22x3.对称轴为x1，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)设直线BC的解析式为ymxn(m0)，把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn，得，解得直线BC的解析式为yx3.(2)如解图，设直线BC与对称轴x1的交点为M，连接MA，MAMB，MAMCMBMCBC.使MAMC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点把x1代入直线yx3，得y2.M(1，2)(3)设P(1，t)，结合B(3，0)，C(0，3)，得BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)
