《51.二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破》由会员分享，可在线阅读，更多相关《51.二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、类型五 二次函数与三角形全等、相似（位似）有关的问题【典例1】如图，已知抛物线yax2+bx+6经过两点A（1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得CMN90，且CMN与OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标【答案】（1）y2x2+4x+6；（2）SPBC3m2+9m（0m3）；（3）M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）
2、或M（3，0），N（0，）【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点P作PFy轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出SPBC3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出PBC面积的最大值；（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可【详解】（1）将A（1，0）、B（3，0）代入
3、yax2+bx+6，得：，解得：，抛物线的解析式为y2x2+4x+6（2）过点P作PFy轴，交BC于点F，如图1所示当x0时，y2x2+4x+66，点C的坐标为（0，6）设直线BC的解析式为ykx+c，将B（3，0）、C（0，6）代入ykx+c，得：，解得：，直线BC的解析式为y2x+6设点P的坐标为（m，2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，2m+6），PF2m2+4m+6（2m+6）2m2+6m，当时，PBC面积取最大值，最大值为 点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，0m3（3）存在点M、点N使得CMN90，且CMN与OBC相似如图2，CMN90，当点M位于点C上方，
4、过点M作MDy轴于点D，CDMCMN90，DCMNCM，MCDNCM，若CMN与OBC相似，则MCD与NCM相似，设M（a，2a2+4a+6），C（0，6），DC2a2+4a，DMa，当 时，COBCDMCMN， ，解得，a1，M（1，8），此时，N（0，），当时，COBMDCNMC， ，解得 ，M（，），此时N（0，）如图3，当点M位于点C的下方，过点M作MEy轴于点E，设M（a，2a2+4a+6），C（0，6），EC2a24a，EMa，同理可得：或，CMN与OBC相似，解得或a3，M（，）或M（3，0），此时N点坐标为，N（0，）或N（0，）综合以上得，M（1，8），N（0，）或M（，），
5、N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，），使得CMN90，且CMN与OBC相似【点睛】此题考查二次函数综合题，综合考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最大值，相似三角形的判定与性质，以及渗透分类讨论思想【典例2】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C直线经过B、C两点 （1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线及x轴分别交于点D、M，垂足为N设点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）请直接写出符合条件的m的值；当点P在直线下方的抛物线上运动时，是否存在一点P
6、，使与相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）-2，1；（3）存在，（3，-2）【解析】【分析】（1）根据直线经过B、C两点求出B、C两点的坐标，将B、C坐标代入抛物线可得答案；（2）由题意得P（m，），D（m，）；根据P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点列式计算即可求得m的值；先证明，得出，再根据与相似得出，则，可得出，求出点P的纵坐标，代入抛物线，即可求得点P的横坐标【详解】解：（1）由直线经过B、C两点得B（4，0），C（0，-2）将B、C坐标代入抛物线得，解得，抛物线的解析式为：；（2），垂足为N P（m，），D（m，），分以下几种情况：M是P
7、D的中点时，MD=PM，即0-（）=解得，（舍去）；P是MD的中点时，MD=2MP，即=2（）解得，（舍去）； D是MP的中点时，2MD=MP，即=2（）解得，（舍去）；符合条件的m的值有-2，1；抛物线的解析式为：，A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）AO=1，CO=2，BO=4，又=90，与相似， ，点P的纵坐标是-2，代入抛物线，得解得：（舍去），点P的坐标为：（3，-2）【点睛】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记 【典例3】如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与
8、y轴交于点B（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）【解析】【分析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点D作轴于E，则求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证
9、明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；（3）设平移后抛物线的解析式，将L的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，可求得m的值，即可求得L的函数解析式【详解】（1）在中，令，则，解得，令，则，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，抛物线顶点坐标为（2）如图，过点D作轴于E，则，设点P的坐标为，则点D的坐标为，而，由二次函数的性质可知：当时，的最大值为， （3）设平移后抛物线的解析式，联立，整理，得：，设，则是方程的两根， 而A为的中点，解得：抛物线的解析式【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三
10、角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题【典例4】在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点（1）当时，直接写出点，的坐标：_，_，_，_；（2）如图1，直线交轴于点，若，求的值和的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点为的中点，动点在第三象限的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点；过点作，垂足为设点的横坐标为，记用含的代数式表示；设，求的最大值【答案】（1），；（2）；（3）；【解析】【分析】（1）求出时，x的值可得点A、B的坐标，求出时，y的值可得
11、点C的坐标，将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D的坐标；（2）先求出顶点D的坐标，从而可得DK、OK的长，再利用正切三角函数可得EK、OE、OC的长，从而可得出点C的坐标，然后将点C的坐标代入二次函数的解析式可得a的值，利用勾股定理可求出CE的长；（3）如图，先利用待定系数法求出直线AN的解析式，从而可得点F的坐标，由此可得出PF的长，再利用待定系数法求出直线CE的解析式，从而可得点J的坐标，由此可得出FJ的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得FH的长，最后根据的定义即可得；先将的表达式化为顶点式，从而得出其增减性，再利用二次函数的性质即可得【详解】（1）当时，当时，解得或则点A
12、的坐标为，点B的坐标为当时，则点C的坐标为将化成顶点式为则点D的坐标为故答案为：，；（2）如图，作轴于点将化成顶点式为则顶点D的坐标为，在中，即解得在中，即解得，将点代入得：解得；（3）如图，作与的延长线交于点由（2）可知，当时，解得或，为OC的中点设直线AN的解析式为将点，代入得：，解得则直线AN的解析式为由（2）知，设直线CE的解析式为将点，代入得：，解得则直线CE的解析式为，轴，即解得即；将化成顶点式为由二次函数的性质可知，当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小因此，分以下两种情况：当时在内，随t的增大而增大则当时，取得最大值，最大值为又当时，当时在内，随t的增大而增大；在内，随
13、t的增大而减小则当时，取得最大值，最大值为综上，的最大值为【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、正切三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造相似三角形求出的长是解题关键【典例5】如图，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数yax22ax+c（a、c是常数，a0）的图象经过点M(1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点（1）当a1时，求点N的坐标及的值；（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图，E是x轴上位于点B右侧的点，BC2BE，DE交抛物线于点F若FBFE，求此时的二次函数表达式【答案】（1）N(4，4)，；（2）不变，理由见解析；（3）yx2+x+或yx2+x+【解析】【分析】（1）证明DMEDAC，DCBDFN，则，求出AC，BC，即可求解；（2）点D(1，14a)，N(4，1+5a)，则ME2，DE4a，由（1）的结论得：AC，BC，即可求解；（3）利用FHEDCE，求出F(，)，即可求解【详解】解：（1）分别过点M、N作MECD于点E，NFDC于点F，MEFNx轴，DMEDAC，
