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1、压轴10 导数中的函数不等式一、单选题1. 已知对任意实数x都有f(x)=ex(2x+3)+f(x)，f(0)=1，若不等式f(x)k0的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是A. 1e2,0B. 1e2,1e3C. 1e2,1e3D. (1e2,0【答案】D【解析】解：令G(x)=f(x)ex，则G(x)=f(x)f(x)ex=2x+3，故设G(x)=x2+3x+c，G(0)=f(0)=1.c=1f(x)=(x2+3x+1)ex，f(x)=(x2+5x+4)ex=(x+1)(x+4)ex可得：x=4时，函数f(x)取得极大值，x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1e，f(0)=1，f
2、(2)=1e20又x时，f(x)0;x时，f(x)+;1e2k0时，不等式f(x)k0的解集中恰有两个整数1，2故k的取值范围是(1e2,02. 已知函数fx=x3+ax2+bx有两个极值点x1,x2，且x1x2，从而函数f(x)在(,x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,+)上单调递增，记方程f(x1)=f(x)的另一个解为m，所以x3+ax2+bxf(x1)=(xx1)2(xm)，所以有2x1+m=a2x1m+x12=b,所以m=a2x1=3(x1+x2)22x1=3x2x12=(2x2x1)+x22=x0+x22x0+x02=x0，所以x2max的解集中恰有两个整数，则
3、实数a的取值范围为A. ln313e3,2ln22e2B. ln22e4,2ln22e2C. ln3+13e3,2ln22e2D. ln3+13e3,2ln22e2【答案】B【解析】解：依题意，令，则，令，则x=1x+10，则x在0,+上单调递增，又，所以存在t3,4，使得t=0，当x0,t时，x0，x在0,t单调递增，当xt,+，x0，即x0，x在t,+单调递减，因为1=3e3时，x0，又|(1)|=3e，故要使不等式的解集中只有两个整数，a的取值范围应为，故选B4. 定义在(0,+)上的函数f(x)满足x2f(x)+10，f(2)=52，则关于x的不等式f(lnx)1lnx+2的解集为A.
4、 (e2,+)B. (0,e2)C. (e,e2)D. (1,e2)【答案】A【解析】解：根据题意，令g(x)=f(x)1x(x0)，其导数g(x)=f(x)+1x2=x2f(x)+1x2，因为函数f(x)在(0,+)上满足x2f(x)+10，则有g(x)0，即g(x)在(0,+)上为增函数，又由f(2)=52，则g(2)=f(2)12=2，f(lnx)1lnx+2f(lnx)1lnx2g(lnx)g(2)，又由g(x)在(0,+)上为增函数，则有lnx2，解得xe2，即不等式的解集为(e2,+)故选A5. 已知函数fx=exx2ax+a,a2，若不等式fx0的解集中恰有三个不同的整数，则实数
5、a的取值范围为A. 0,43e2)B. 43e2,32e)C. 43e2,2)D. 32e,2)【答案】D【解析】函数fx=exx2ax+a,a2，若不等式fx0的解集中恰有三个不同的整数，则ex(x2)1时，g(x)0，此时g(x)单调递增，当x1时，g(x)0，此时x=1，x=2满足条件，由图象可知，此时只能x=0时，满足条件，则a0(0)2(1)3e,解得32ea0)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增，所以x=1时，f(x)的最小值为f(1)=0，所以x1lnx0，即x1lnx，则(x+y+1)1ln(x+y+1)，且(xy2)1ln(xy2)，两式相加得：2x3l
6、n(x+y+1)+ln(xy2),又因为2x3ln(x+y+1)+ln(xy2),所以2x3=ln(x+y+1)+ln(xy2),此时x+y+1=1xy2=1，解得x=32y=32，所以x,y均为定值，故选A7. 已知函数f(x)在R上可导，且f(0)=1，当x1时，其导函数f(x)满足，则下列结论错误的是A. y=f(x)ex在(1,+)上是增函数B. x=1是函数y=f(x)ex的极小值点C. x0时f(x)ex恒成立D. 函数y=f(x)ex至多有两个零点【答案】C【解析】解：构造函数gx=fxex，则gx=fxfxex,根据f(x)f(x)x10，得当x1时，函数g(x)为增函数；当x
7、0时，函数y=g(x)没有零点；当g(1)=0时，函数y=g(x)有1个零点；当g(1)0时，函数y=g(x)至多有两个零点，故y=g(x)至多有两个零点，D正确；g(0)=f(0)e0=1，当x8e2的解集为A. (,e+1)(e+1,+)B. (e+1,+)C. (,1)(3,+)D. (3,+)【答案】D【解析】解：令g(x)=f(x)x3，则g(x)=xf(x)3f(x)x4=ex，所以g(x)=ex+c=f(x)x3，所以f(x)=x3ex+cx3，因为f(1)=e，所以e+c=e，解得c=0，所以f(x)=x3ex，则f(x1)8e2即为f(x1)f2，因为f(x)=(x3+3x2
8、)ex，很明显x0时f(x)0，所以f(x)在(0,+)单调递增，解得x12.所以x3故选D9. 已知函数fx=exx2ax+a,a2，若不等式fx0的解集中恰有三个不同的整数，则实数a的取值范围为A. 0,43e2)B. 43e2,32e)C. 43e2,2)D. 32e,2)【答案】D【解析】函数fx=exx2ax+a,a2，若不等式fx0的解集中恰有三个不同的整数，则ex(x2)1时，g(x)0，此时g(x)单调递增，当x1时，g(x)0，此时x=1，x=2满足条件，由图象可知，此时只能x=0时，满足条件，则a0(0)2(1)3e,解得32ea2020，f(1)=2021，则不等式f(x
9、)2020+1ex1的解集为A. 0,+)B. 1,+)C. (,2020D. (,1【答案】D【解析】解：由函数f(x)+f(x)2020可得f(x)2020+f(x)0，设F(x)=ex(f(x)2020)，则F(x)=ex(f(x)2020+f(x)0，可得函数F(x)在R上单调递增，且F(1)=ef(1)2020=e，由f(x)2020+1ex1可得exf(x)2020e=ef(1)2020=F(1)，可得F(x)F(1)，故不等式的解集为x1，故选D二、填空题11. 已知函数fx满足f1=1，且fxfx，则不等式fxex1的解集为【答案】(1,+)【解析】解：构造g(x)=f(x)e
10、x1，由条件得：g(x)=f(x)ex1f(x)ex1(ex1)2=f(x)f(x)ex10，所以函数g(x)在R上单调递增不等式f(x)ex1可化为f(x)ex11，即g(x)g(1)，所以有x1所以不等式f(x)ex1的解集为(1,+)故答案为：(1,+)12. 若函数f(x)=(xm)3+(xmem1)2ax(mR)在,+上为单调递增函数，则实数a的最大值为_【答案】73【解析】解：函数f(x)=(xm)3+(xmem1)2ax(mR)在,+上为单调递增函数fx=3xm2+2xmem1a=3x2+26mx+3m22mem2a0令gx=3x2+26mx+3m22mem2a，则gxmin=gm13=3m132+26mm13+3m22mem2a=73+2m1ema0a73+2m1em要使得a的值最大，则2m1em也应取得最大值，令m=2m1em，当m0时,m0；当m=
