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1、压轴04 函数的零点与方程根的关系一、单选题1. 已知函数，若F(x)=ff(x)+1+m有两个零点x1，x2，则x1+x2的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：当x1时，f(x)=lnx0，f(x)+11，ff(x)+1=ln(f(x)+1)，当x12，f(x)+132，ff(x)+1=ln(f(x)+1)，综上可知：ff(x)+1=ln(f(x)+1)，所以F(x)=ff(x)+1+m=ln(f(x)+1)+m，若F(x)=ff(x)+1+m有两个零点x1，x2，则f(x)+1=em，f(x)=em1有两个根x1，x2，(不妨设x1x2)，当x1时，lnx2=em
2、1，当x12，则lnx2=t，x2=et，1x12=t，x1=22t，x1+x2=et+22t，t12，设g(t)=et+22t，t12，求导g(t)=et2，令g(t)=0，解得：t=ln2，t(12,ln2)，g(t)0，函数g(t)单调递增，当t=ln2时，g(t)取最小值，g(t)min=g(ln2)=2+22ln2=42ln2，g(t)的值域为42ln2,+)，x1+x2取值范围42ln2,+)，故选A2. 已知函数，则方程f(f(x)=1的根的个数为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 2【答案】A【解析】解：函数，令t=f(x)，则方程f(t)=1，当t1时，可得2t1=1，解得t
3、=1；当t1时，|ln(t1)|=1，可得t1=e或t1=1e，所以t=e+1或t=1+1e若t=1，当x1时，f(x)=t，可得2x1=1，解得x=1；当x1时，|ln(x1)|=1，可得x1=e或x1=1e，所以x=e+1或x=1+1e，若t=e+1，当x1时，可得2x1=e+1，解得x=1+e2舍去；当x1时，|ln(x1)|=1+e，可得x1=e1+e或x1=e1e，所以x=e1+e+1或x=1+e1e，若t=1+1e，当x1时，可得2x1=1+1e，解得x=1+12e舍去；当x1时，|ln(x1)|=1+1e，可得x1=e1+1e或x1=e11e，所以x=e1+1e+1或x=1+e1
4、1e，所以方程f(f(x)=1的根的个数为7个故选A3. 下列函数使方程f(f(x)=x的实根个数最多的为（ ）A. f(x)=x2xB. f(x)=exC. f(x)=sinxD. f(x)=|2x1|【答案】D【解析】解：对于A，由f(f(x)=(x2x)2(x2x)=x42x3+x=x，解得x=0或x=2，有两解；对于B，由f(f(x)=eexex+1x+2，无解；对于C，f(f(x)=sin(sinx)，作出函数y=f(x)与函数y=x的图象如下图所示，由图象可知，方程f(f(x)=x只有x=0一个解；对于D，f(f(x)=|2|2x1|1|=x，则2|2x1|=x+1或2|2x1|=
5、1x，易知，该方程共有四个解；故选：D4. 已知函数f(x)=ex|x|，关于x的方程f2(x)2af(x)+a1=0(aR)有3个相异的实数根，则a的取值范围是（ ）A. (e212e1,+)B. (,e212e1)C. (0,e212e1)D. e212e1【答案】D【解析】解：当x0时，f(x)=exx，f(x)=exxexx2=ex(x1)x2，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当0x1时，f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=e；当x0恒成立，此时函数f(x)为增函数；作出函数f(x)的图象如图：设t=f(x)，则te时，方程t=
6、f(x)有3个根；当t=e时，方程t=f(x)有2个根；当0t0，则若f2(x)2af(x)+a1=0(aR)有三个相异的实数根，等价为方程t22at+a1=0(aR)(1)有2个相异的实数根t1、t2，其中0t1e，当方程(1)的两个实根满足0t1e时，令g(t)=t22at+a1，对称轴t=a，则，即，此时不等式无解；综上可知，a=e212e1，故选D5. 函数f(x)=lnx+a的导数为f(x)，若方程f(x)=f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为（ ）A. (1,+)B. (0,1)C. (1,2)D. (1,3)【答案】A【解析】解：由函数f(x)=lnx+a可得f(x0)=
7、1x，由于使得f(x0)=f(x0)成立的根x0满足0x01，lnx01，故有a1，故选：A6. 对于实数a，b定义运算“”：ab=ba,abb2a2ab，设f(x)=(2x3)(x3)，若关于x的方程f(x)=k(kR)恰有三个互不相同的实根x1，x2，x3则x1x2x3取值范围为（ ）A. (0,3)B. (1,0)C. (,0)D. (3,0)【答案】D【解析】解：ab=ba,abb2a2,ab,f(x)=(2x3)(x3)=x,x0)，若f(x)+a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A. 1a0B. 1a0C. 1a0D. 1a0【答案】C【解析】解：若f(x)+a=0
8、有三个不同的实数根，则y=f(x)与y=a有三个不同的交点，作出y=f(x)的图象如图，如果满足y=f(x)与y=a有三个不同的交点，则0a1，所以1a0故选C9. 已知函数f(x)=|lg(x)|,x0x26x+4,x0，若关于x的方程f2(x)bf(x)+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（ ）A. (2,174B. (2,174(,2)C. (2,8)D. (,2)(2,+)【答案】A【解析】解：作函数f(x)的图象如右图，(备注：x0部分是以y轴为渐近线)关于x的函数y=f2(x)bf(x)+1有8个不同的零点，令t=f(x)方程t2bt+1=0有2个不同的正解，且在(0,4上；
9、0b20f(4)=164b+10，解得2b174；故选A10. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x+1)=f(x)，当x0,12时，f(x)=4x1，则函数(x)=(x1)f(x)1在区间32,3上所有零点之和为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】解：由已知fx是定义在R上的奇函数，所以fx=fx，又fx+1=fx，所以fx的周期是2，且fx+1=fx得x=12是其中一条对称轴，又当x0,12时，fx=4x1，于是fx图象如图所示，又函数x=x1fx1零点即为y=fx图象与y=1x1的图象的交点的横坐标，四个交点分别关于1,0对称，所以x1+x4=2,x2+x3=
10、2，所以零点之和为x1+x2+x3+x4=4故选A二、填空题11. 设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)=x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数f(x)=ax23xa+52在区间1,4上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】解：依题意，存在x1,4，使F(x)=f(x)+x=ax22xa+52=0，当x=1时，使F(1)=120，当x1时，解得a=4x52(x21)，由a=2x2+5x2(x21)2=0，得x=2或x=12(121，舍去)，当1x0，此时a=4x52(x21)为增函数，当2x4
11、时，a0，此时a=4x52(x21)为减函数，a在x=2处取得极大值，这个极大值也为a的最大值，amax=a|x=2=4252221=12，实数a的取值范围为(,12,故答案为(,1212. 函数f(x)=(x1)sinx1(1x3)的所有零点之和为_【答案】4【解析】解：f(x)=(x1)sinx1(1x3)，易知x=1不是f(x)的零点，所以可得sinx=1x1，x(1,1)(1,3)，令g(x)=sinx，(x)=1x1，(x(1,1)(1,3)，则g(x)，(x)都是关于(1,0)点对称的函数，故交点关于(1,0)对称，又根据函数图象可知，函数g(x)与(x)有4个交点，分别记为A，B，C，D，则xA+xB+xC+xD=4，故答案为413. 已知函数，若x=2是函数fx的唯一极值点，则实数k的取值集合是_【答案】e24,+)【解析】解：解：函数
