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1、压轴25 直线的方程一、单选题1. 若椭圆x29+y24=1的弦AB被点P1,1平分，则AB所在直线的方程为A. 9x+4y13=0B. 4x+9y13=0C. x+2y3=0D. x+3y3=0【答案】B【解析】解：设过点A(1,1)的直线与椭圆相交于两点，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由中点坐标公式可知：x1+x22=1y1+y22=1，则x129+y124=1x229+y224=1，两式相减得：(x1+x2)(x1x2)9+(y1+y2)(y1y2)4=0，y1y2x1x2=49，直线EF的斜率k=y1y2x1x2=49，直线EF的方程为：y1=49(x1)，整理得：4x+9y13
2、=0，故选B2. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F(c,0)，上顶点为A，离心率为32，直线FA与抛物线E:y2=4cx交于M，N两点，则|MA|+|NA|=A. 23aB. 5aC. 43aD. 10a【答案】D【解析】解：如图，离心率为32，即ca=32，解得a=2b，c=3b，由F(c,0)，A(0,b)，则kAF=bc=33，直线FA的方程y=33x+b，又y2=4cx，即y2=43bx与y=33x+b联立消去y得，x2103bx+3b2=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，x1+x2=103b，则|MA|+|NA|=1+(33)2(x1+x2)=2310
3、3b=20b=10a故选D3. 下列四个命题：经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程yy0=kxx0表示；经过任意两个不同的点P1x1,y1，P2x2,y2的直线都可以用方程x2x1xx1=y2y1yy1表示；不经过原点的直线都可以用方程xa+yb=1表示；经过定点A0,b的直线都可以用方程y=kx+b表示其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：经过定点P0(x0,y0)，且斜率存在的直线都可以用方程yy0=kxx0表示，故为假命题；把直线的两点式方程变形，即(x2x1)(yy1)=(y2y1)(xx1)，故为假命题；不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以
4、用方程xa+yb=1表示，故为假命题；经过定点A(0,b)，且斜率存在的直线都可以用方程y=kx+b表示，故为假命题；故选A4. 已知直线l1:mxy+m=0与直线l2:x+my1=0的交点为P，若点Q为直线l3:xy+3=0上的一个动点，则|PQ|的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：易知直线l1:mxy+m=0过定点A(1,0)，直线l2:x+my1=0过定点B(1,0)，当m=0时l1l2，当m0时，l1与l2斜率乘积为m(1m)=1，所以l1l2，所以点P在以AB为直径的圆上，圆的方程为x2+y2=1，圆心(0,0)到直线xy+3=0的距离为|3|2=322，所以|P
5、Q|的最小值为圆心到直线xy+3=0的距离减去半径，即3221，故选B5. 如已知点A(1,0),B(1,0),C(0,1)，直线y=kx+b(k0)将三角形ABC分割成面积相等的两个部分，则b的取值范围是A. (122,12)B. (122,12C. 13,12)D. (0,12【答案】A【解析】解：由题意可得，三角形ABC的面积为12ABOC=1，由于直线y=kx+b(k0)与x轴的交点为M(bk,0)，由直线y=kx+b(k0)将ABC分割为面积相等的两部分，可得b0，故bk13，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于12，即12MByN=12，即121+bkk+bk+1
6、=12，可得k=b212b0，求得b12，故有13b12若点M在点A的左侧，则b13，由点M的横坐标bkk设直线y=kx+b和AC的交点为P，则由y=kx+by=x+1求得点P的坐标为1bk1,kbk1，此时，由题意可得，CPN的面积等于12，即12(1b)|xNxP|=12，即121b1bk+11bk1=12，化简可得2(1b)2=|k21|由于此时bk0，0k1，2(1b)2=|k21|=1k2两边开方可得21b=1k21，1b122，故有122b13再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是122,12，故选A6. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(1,4)向圆C:(xm)2
7、+y2=m2+5(1m6)引两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点A. (12,1)B. (1,32)C. (12,32)D. (1,12)【答案】B【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，过点P(1,4)，向圆C：(xm)2+y2=m2+5(1m0将四边形ABCD分割为面积相等的两部分，则m的取值范围是A. (0,1)B. 13,12C. 13,4102D. 【答案】D【解析】解：点A(2,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(1,1)，如图，四边形的面积为12(4+2)1=3，若直线在第一象限与CD相交，设交点为F，则直线必与OA交于一点，设为E，连接BF，DE，要使直线平分梯形，只须
8、CF+BE=DF+AE=3，设BE=t，则E点坐标为(2t,0)，F点坐标为(t2,1)，EF关于(0,12)对称，此时m=12若直线与梯形在第一象限的交点在BC上，设交点为F，BC所在直线的方程为x+y=2此时直线与AB相交，或者与AD相交，(1)若与AB相交，设交点为E点坐标为(t,0)，则BE=2t，三角形BEF在BE边上的高为32t1，F点横坐标为(232t,32t)，其中2t1，经计算，m=3(t1t)+4(2t1)，当t=1时，m有最大值12，t=2时，m有最小值613，(2)若两交点分别在AD和BC上，如图，此时，过A点时，m最大，为617，当斜率k0时，有最小值(取不到)410
9、2，综上，m(4102,12故选D二、填空题10. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,0)，B(0,4)，从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为_【答案】32【解析】解：因为点A(4,0)，B(0,4)，所以直线AB的方程为xy+4=0设Px0,y0，因为P是直线AB上一点，所以y0=x0+4.又因为以AP为直线的圆的方程为：xxx0+yyy0=0，即x2+y2xx0yy0=0由x2+y2=4x2+y2xx0yy0=0两式相减得xx0+yy0=4，即直线CD的方程为xx0+yy0=4又因为线段CD的中点为M
10、，所以直线OM的方程为：xy0yx0=0.联立消去x0，y0得点M的轨迹方程为x+122+y122=12又因为A(4,0)，所以AMmax=4+122+122+22=32故答案为3211. 等差数列an的前n项和为Sn，a4=72，且2Sn+1=Sn+Sn+2nN，直线Sn+1x+Sny=1与两坐标轴围成的三角形的面积为Tn，则T1+T2+T3+.+T2159的值为_【答案】21592160【解析】解：由2Sn+1=Sn+Sn+2nN可得，Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则Sn为等差数列，又Sn=na1+n(n1)2d=d2n2+(a1d2)n，Sn为等差数列，a1=d2，又a4=72，a4=
11、a1+3d，则a4=a1+3d=d2+3d=72d=72，故d=1，Sn=n22，Sn=n22,SnSn+1=n22(n+1)22=n(n+1)2，因直线Sn+1x+Sny=1，当x=0时，y=1Sn，当y=0时，x=1Sn+1，Tn=121Sn1Sn+1=121n(n+1)2=1n(n+1)=1n1n+1，T1+T2+T3+T2159=112+1213+1314+1215912160=112160=2159216012. 若动点P在直线a：x2y2=0上，动点Q在直线b：x2y6=0上，记线段PQ的中点为M(x0,y0)，且(x02)2+(y0+1)25，则x02+y02的取值范围为_【答案】165,16【解析】解：由题意知，直线a：x2y2=0与直线b：x2y6=0平行，因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，所以PQ的中点M在与a，b平行，且到a，b的距离相等的直线上，设该直线为l，则直线l的方程为x2y4
