《17.二次函数与菱形有关的问题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破》由会员分享，可在线阅读，更多相关《17.二次函数与菱形有关的问题（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、类型九 二次函数与菱形有关的问题【典例1】如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为.用含的代数式表示线段的长；连接，求的面积最大时点的坐标；（3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）yx24x+3；（2）用含m的代数式表示线段PD的长为m2+3m；PBC的面积最大时点P的坐标为（，）；（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、
2、M、N为顶点的四边形是菱形点M的坐标为M1（2，3），M2（2，12），M3（2，1+2）【解析】（1）抛物线yax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，解得，抛物线解析式为yx24x+3； （2）设P（m，m24m+3），将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBCx+3过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，D（m，m+3），PD（m+3）（m24m+3）m2+3m答：用含m的代数式表示线段PD的长为m2+3m SPBCSCPD+SBPDOBPDm2+m（m）2+当m时，S有最大值当m时，m24m+3P（，）答：PBC的面积最大时点P的坐标为（
3、，）（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形根据题意，点E（2，1），EF=CF=2，EC=2，根据菱形的四条边相等，ME=EC=2，M（2，1-2）或（2，1+2）当EM=EF=2时，M（2，3）点M的坐标为M1（2，3），M2（2，12），M3（2，1+2）【典例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点（1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式（2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形POPC，如果四边形POPC为菱
4、形,求点P的坐标（3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，请求出此时点P的坐标【答案】（1）y=x22x3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，此时点P的坐标（1，4）【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数yx2+bx+c的解析式为yx22x3；（2）四边形POPC为菱形，OC与PP互相垂直平分，yP，即x22x3，解得：x1，x2（舍），P（）；（3）PBC90，分两种情况讨论：如图1，当PCB90时，过P作PHy轴于点H，BC的解析式为yx3，CP的解析式为yx3，设点P的坐标为（m，3m），将点P代入代
5、入yx22x3中，解得：m10（舍），m21，即P（1，4）；AO1，OC3，CB，CP，此时3，AOCPCB；如图2，当BPC90时，作PHy轴于H，作BDPH于DPCPB，PHCBDP，设点P的坐标为（m，m22m3），则PH=m，HC=（m22m3）（3）=m2+2m，BD=（m22m3），PD=3m，解得：m或（舍去）当m时，m22m3=PHCBDP，= 3，以P、C、B为顶点的三角形与AOC不相似综上所述：P、C、B为顶点的三角形与AOC相似，此时点P的坐标（1，4）【典例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点的坐标为（3，0），B点在
6、原点的左侧，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC上方的抛物线上一动点（1）求这个二次函数的表达式；（2）连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC（如图1所示），那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请此时点P的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大，并求出其最大值【答案】（1）yx22x+3；（2）存在P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为（，），四边形ABPC的面积的最大值为【方法点拨】（1）利用待定系数法直接将B、C两点直接代入yx2+bx+c求解b，c的值即可得抛物线解析式；（2）利用菱形对角线的性质及折叠的性质
7、可以判断P点的纵坐标为，令y即可得x22x3，解该方程即可确定P点坐标；（3）由于ABC的面积为定值，当四边形ABCP的面积最大时，BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线AC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得BPC的面积，由此可得到关于四边形ABCP的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABCP的最大面积及对应的P点坐标【解析】（1）C点坐标为（0，3），yx2+bx+3，把A（3，0）代入上式得，093b+3，解得，b2，该二
8、次函数解析式为：yx22x+3；（2）存在如图1，设P点的坐标为（x，x22x+3），PP交CO于E，当四边形POPC为菱形时，则有PCPO，连接PP，则PECO于E，OECE，令x22x+3，解得，x1，x2（不合题意，舍去）P点的坐标为（，）（3）如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OA交于点F，设P（x，x22x+3），设直线AC的解析式为：ykx+t，则，解得：，直线AC的解析式为yx+3，则Q点的坐标为（x，x+3），当0x22x+3，解得：x11，x23，AO3，OB1，则AB4，S四边形ABCPSABC+SAPQ+SCPQABOC+QPOF+QPAF43+（x22x+3
9、）（x+3）3（x+）2+当x时，四边形ABCP的面积最大，此时P点的坐标为（，），四边形ABPC的面积的最大值为【思路引导】此题考查了二次函数综合题，需要掌握二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解【典例4】如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s
10、与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由【答案】（1）；（2） （0t3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.【解析】解：（1）x=0时，y=1，点A的坐标为：（0，1），BCx轴，垂足为点C（3，0），点B的横坐标为3，当x=3时，y=，点B的坐标为（3，），设直线AB的函数关系式为y=kx+b， ，解得，则直线AB的函数
11、关系式（2）当x=t时，y=t+1，点M的坐标为（t，t+1），当x=t时，点N的坐标为 （0t3）；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，解得t1=1，t2=2，当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形，当t=1时，MP=，PC=2，MC=MN，此时四边形BCMN为菱形，当t=2时，MP=2，PC=1，MC=MN，此时四边形BCMN不是菱形【典例5】已知，在平面直角坐标系内一直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，y轴右侧部分抛物线上有一动点C，过点C作y轴的平行线交直线l1于点D.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图
12、1，C在第一象限，求以CD为直径的E的最大面积，并判断此时E与抛物线的对称轴是否相切？若不相切，求出使得E与该抛物线对称轴相切时点C的横坐标；（3）坐标平面内是否存在点M，使B、C、D、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由.【答案】(1)；（2）不相切， C的横坐标分别为2和；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）. 【解析】解：（1）直线l1:y=-x+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，可得A点（3，0），B点（0，3），将A、B两点坐标代入y=-x2+bx+c，可得，可得b=2，c=3抛物线的函数表达式；（2）可得抛物线对称轴为：1，
13、 C在第一象限,以CD为直径的E的最大面积，即CD最长时，圆的面积最大，设直线CD的横坐标为t，0t3，D点坐标（t，-t+3），C点坐标（t，-t+2t+3）， =-t+2t+3-(-t+3)= -t+3t（0t3），当t=时，CD最长，此时CD最长为，此时圆E的半径为，此时CD与对称轴的距离为-1=，故不相切.当CD在对称轴右边时，即1t3时= -t+3t（1t3）；圆E的半径为t-1，可得=2r；-t+3t=2（t-1），解得：=-1（舍去）；=2；当CD在对称轴左边时，即即0t1时，有-t+3t=2（1-t），解得：（舍去），；综上所述：t=2或t=，E与该抛物线对称轴相切. (3)存
14、在，由菱形性质可得M点坐标（0,1），（2,3）（0,1-3），（0,1+3）.【典例6】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点（1）求m的值及C点坐标；（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由（3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q，当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标(直接写出答案)；【答案】(1) (2) 存在, (3)点坐标为()或()【解析】解： 将点的坐标代入二次函数，即，解得，故二次函数解析式为，令，解得，故点坐标为;(2)存在，理由：，直线的解析式为，当直线向上平移单位后和抛物线只有一个公共点时，面积最大，整理得：，如图2、图3所示，连接交于点。因为四边形是菱形，所以为的中点，因为点的坐标分别为、，所以由中点坐标公式得点坐标为，由(2)可知直线的解析式为，由于，所以设直线的解析式为，将代入，求得直
