《13.与切线有关的证明与计算（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破》由会员分享，可在线阅读，更多相关《13.与切线有关的证明与计算（解析版）2021年中考数学二轮复习重难题型突破（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、类型二与切线有关的证明与计算【典例1】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，ADBC，AC与BD相交于点FBE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E（1）求证：CBADAB；（2）若BEBF，求证：AC平分DAB【分析】（1）根据圆周角定理得到ACBADB90，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到EBFE，根据切线的性质得到ABE90，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论【解答】（1）证明：AB是半圆O的直径，ACBADB90，在RtCBA与RtDAB中，RtCBARtDAB（HL）；（2）解：BEBF，由（1）知BC
2、EF，EBFE，BE是半圆O所在圆的切线，ABE90，E+BAE90，由（1）知D90，DAF+AFD90，AFDBFE，AFDE，DAF90AFD，BAF90E，DAFBAF，AC平分DAB【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键【典例2】如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）详见解析；（2）2【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到ADB90，根据平行线的性质得到AOFB，根据切线的性质得到CDO90，等量代换即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到OEBD
3、84，设ODx，OC3x，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：（1）连接OD，AB为O的直径，ADB90，ADBD，OFAD，OFBD，AOFB，CD是O的切线，D为切点，CDO90，CDAADOADOBDO90，CDABDO，ODOB，ODBB，AOFADC；（2）OFBD，AOOB，AEDE，OEBD84，sinC，设ODx，OC3x，OBx，CB4x，OFBD，COFCBD，OF6，EFOFOE642【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键【典例3】如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与
4、重合的点，（1）求的大小；（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切【答案】（1）60；（2）详见解析【解析】【分析】(1)连接OB，在RtAOB中由求出A=30，进而求出AOB=60，BOD=120，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出BED的值；(2)连接OF，在RtOBF中，由可以求出BOF=60，进而得到FOD=60，再证明FOBFOD，得到ODF=OBF=90【详解】解：(1)连接，与相切于点，则由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：故答案为：(2)连接，由(1)得，在与中，又点在上，故与相切【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解
5、直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键【典例4】如图，AB为O的直径，点C在O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E（1）求证：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD/OC,可得OCBE,即可推出ABEE,AE=AB(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由EDCECA得出相似比,求出CD即可【详解】（1）证明：连接OCCD与O相切于C点OCCD又CDAEOC/AEOCBEOC=OBABEOCBABEEAE=AB（2）连接ACAB为O
6、的直径ACB90AB=AE，ACBEEC=BC=6DECCEA, EDCECAEDCECA【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解【典例5】如图，AB为O的直径，C、D为O上的两个点，连接AD，过点D作DEAC交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线（2）若直径AB6，求AD的长【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到BOD18060，根据等腰三角形的性质得到ADODAB30，得到EDA60，求得ODDE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到ADB90，解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：连接OD，BOD1806
7、0，EADDABBOD30，OAOD，ADODAB30，DEAC，E90，EAD+EDA90，EDA60，EDOEDA+ADO90，ODDE，DE是O的切线；（2）解：连接BD，AB为O的直径，ADB90，DAB30，AB6，BDAB3，AD3【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键【典例6】如图，在ABC中，ABAC，点D在BC上，BDDC，过点D作DEAC，垂足为E，O经过A，B，D三点(1)求证：AB是O的直径；(2)判断DE与O的位置关系，并加以证明；(3)若O的半径为3，BAC60，求DE的长【分析】：(1)连接AD，证ADBC可得；(2
8、)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长【答案】：(1)连接AD，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90，AB为圆O的直径(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，O，D分别为AB，BC的中点，OD为ABC的中位线，ODAC，DEAC，DEOD，OD为圆的半径，DE与圆O相切(3)ABAC，BAC60，ABC为等边三角形，ABACBC6，连接BF，AB为圆O的直径，AFBDEC90，AFCF3，DEBF，D为BC的中点，E为CF的中点
9、，即DE为BCF中位线，在RtABF中，AB6，AF3，根据勾股定理得BF3，则DEBF【典例7】如图，ABC内接于O，BD为O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且AEBC.(1)求证：BE是O的切线；(2)已知CGEB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BGBA48，FG，DF2BF，求AH的值【分析】：(1)证EBD90即可；(2)由ABCCBG得，可求出BC，再由BFCBCD得BC2BFBD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CGAG，可证CHCB，即可求出AC.【答案】：(1)连接CD，BD是直径，BCD90，即DCBD90，AD，
10、AEBC，CBDEBC90，BEBD，BE是O切线(2)CGEB，BCGEBC，ABCG，又CBGABC，ABCCBG，即BC2BGBA48，BC4，CGEB，CFBD，BFCBCD，BC2BFBD，DF2BF，BF4，在RtBCF中，CF4，CGCFFG5，在RtBFG中，BG3，BGBA48，BA8，AG5，CGAG，AACGBCG，CFHCFB90，CHFCBF，CHCB4，ABCCBG，AC，AHACCH【典例8】如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求CDE的度数；(2)求证：DF是O
11、的切线；(3)若AC2DE，求tanABD的值【答案】：(1)对角线AC为O的直径，ADC90，EDC90(2)连接DO，EDC90，F是EC的中点，DFFC，FDCFCD，ODOC，OCDODC，OCF90，ODFODCFDCOCDDCFOCF90，DF是O的切线(3)EDCE90，DCADCE90，DCAE，又ADCCDE90，CDEADC，DC2ADDE.设DEx，则AC2x，AC2AD2DC2ADDE，即(2x)2AD2ADx，整理得AD2ADx20x20，解得AD4x或AD5x(舍去)，则DC2x，故tanABDtanACD2【典例9】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O
12、A的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且ACBDCE.(1)判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tanACB，BC2，求O的半径【答案】：(1)直线CE与O相切. 理由如下：四边形ABCD是矩形，BCAD，ACBDAC，又ACBDCE，DACDCE，连接OE，有OAOE，则DACAEODCE.DCEDEC90，AEODEC90，OEC90，即OECE.又OE是O的半径，直线CE与O相切(2)tanACB，BC2，ABBCtanACB，AC.又ACBDCE，tanDCEtanACB，DEDCtanDCE1.在RtCDE中，CE，设O的半径为r，则在RtCOE中，CO2OE2CE2，即(r)2r23，解得r【典例10】如图，已知AB为O的直径，AC为O的切线，OC交O于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：1CAD；(2)若AEEC2，求O的半径【答案】：(1)AB为O的直径，ADB90，ADOBDO90，AC为O的切线，OAAC，OADCAD90，OA
