2021年中考数学压轴题考点训练：创新型与新定义综合问题

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1、【考考点点 1 1】几几何何综综合合探探究究类类阅阅读读理理解解问问题题 【例例 1 1】（2019甘肃天水）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概概念念理理解解：如图 2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四 边形吗？请说明理由； （2）性性质质探探究究：如图 1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD 试证明：AB2+CD2=AD2+BC2； （3）解解决决问问题题：如图 3，分别以 RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE已知AC=4，AB=5，求GE的长 【答案】（1）

2、四边形ABCD是垂美四边形理由见解析.（2）见解析.（3）GE=73 【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形理由如下： AB=AD，点A在线段BD的垂直平分线上， CB=CD，点C在线段BD的垂直平分线上， 直线AC是线段BD的垂直平分线， ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）如图 1， ACBD，AOD=AOB=BOC=COD=90， 由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2， AD2+BC2=AB2+CD2； （3）连接CG、BE， CAG=BAE=90， CAG+BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE， 在GAB和CAE中， AGAC

3、GABCAE ABAE ， GABCAE（SAS）， ABG=AEC，又AEC+AME=90， ABG+AME=90，即CEBG， 四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， AC=4，AB=5，BC=3，CG=4 2，BE=52， GE2=CG2+BE2-CB2=73，GE=73 【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解 答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算本题考查的是正方形的性质、 全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活 运用勾股定理是解题

4、的关键 【变式【变式 1-11-1】（2019甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外 角ACH的平分线上一点，且AM=MN求证：AMN=60 点拨：如图，作CBE=60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连接EM易 证：ABMEBM（SAS），可得AM=EM，1=2；又AM=MN，则EM=MN，可得 3=4；由3+1=4+5=60，进一步可得1=2=5，又因为2+6=120，所 以5+6=120，即：AMN=60 问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），

5、N1是正方 形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1求证：A1M1N1=90 【答案】见解析. 【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1， 如图所示： 则EB1=B1C1，EB1M1=90=A1B1M1， EB1C1是等腰直角三角形， B1EC1=B1C1E=45， N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点， M1C1N1=90+45=135， B1C1E+M1C1N1=180， E、C1、N1三点共线， 在A1B1M1和EB1M1中， 111 11111 1111 ABEB AB MEB M M B MB ， A1B

6、1M1EB1M1（SAS）， A1M1=EM1，1=2， A1M1=M1N1，EM1=M1N1，3=4， 2+3=45，4+5=45，1=2=5， 1+6=90，5+6=90， A1M1N1=18090=90 【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰 直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性 强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键 【变式【变式 1-21-2】 （2019湖北咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形 理解：理解： （1）如图 1，点A，B，C在O上，

7、ABC的平分线交O于点D，连接AD，CD 求证：四边形ABCD是等补四边形； 探究：探究： （2）如图 2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分BCD？请说明理 由 运用：运用： （3）如图 3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角EAD的平分线交CD的延长线于 点F，CD=10，AF=5，求DF的长 【解析】（1）如图 1，四边形ABCD为圆内接四边形， A+C=180，ABC+ADC=180， BD平分ABC，ABD=CBD，AD CD ，AD=CD， 四边形ABCD是等补四边形； （2）AD平分BCD，理由如下： 如图 2，过点A分别作AEBC于点E，AF垂直

8、CD的延长线于点F， 则AEB=AFD=90， 四边形ABCD是等补四边形，B+ADC=180， 又ADC+ADF=180，B=ADF， AB=AD，ABEADF（AAS），AE=AF， AC是BCF的平分线，即AC平分BCD； （3）如图 3，连接AC， 四边形ABCD是等补四边形，BAD+BCD=180， 又BAD+EAD=180，EAD=BCD， AF平分EAD，FAD= 1 2 EAD， 由（2）知，AC平分BCD， FCA= 1 2 BCD，FCA=FAD， 又AFC=DFA，ACFDAF， AFCF DFAF ，即 510 5 DF DF ，DF=5 25 【名师点睛】本题考查了新

9、定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平 分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用 等 【考点【考点 2 2】代数类新定义及阅读理解型问题】代数类新定义及阅读理解型问题 【例【例 2 2】（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值，采用以下 方法： 设S=1+2+22+22017+22018， 则 2S=2+22+22018+22019， 得 2SS=S=220191， S=1+2+22+22017+22018=220191. 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+29=_； （

10、2）3+32+310=_； （3）求 1+a+a2+an的和（a0，n是正整数），请写出计算过程 【答案】（1）2101；（2） 11 31 2 ；（3）a=1 时，S=n+1；a1 时，S= 1 1 1 n a a 【解析】（1）设S=1+2+22+29， 则 2S=2+22+210， 得 2SS=S=2101， S=1+2+22+29=2101； 故答案为：2101； （2）设S=3+3+32+33+34+310， 则 3S=32+33+34+35+311， 得 2S=3111， 所以S= 11 31 2 ， 即 3+32+33+34+310= 11 31 2 ； 故答案为： 11 31

11、2 ； （3）设S=1+a+a2+a3+a4+an， 则aS=a+a2+a3+a4+an+an+1， 得：（a1）S=an+11， a=1 时，不能直接除以a1，此时原式等于n+1； a1 时，a1 才能做分母，所以S= 1 1 1 n a a ， 即 1+a+a2+a3+a4+an= 1 1 1 n a a . 【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法认真观察、仔细思考，善用联想，利用类 比的方法是解决这类问题的方法 【变式【变式 2-12-1】（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个 两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以

12、用此记法，如 abc=100a+10b+c 【基础训练基础训练】 （1）解方程填空： 若2x+ 3x=45，则x=_； 若7y8y=26，则y=_； 若93 t +5 8 t =13 1 t，则t=_； 【能力提升能力提升】 （2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定 能被_整除，mnnm一定能被_整除，mnnmmn一定能被 _整除；（请从大于 5 的整数中选择合适的数填空） 【探索发现探索发现】 （3）北京时间 2019 年 4 月 10 日 21 时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极 大的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的

13、黑洞现象：任选一个三位数，要求 个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数 和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为 325，则用 532235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会 得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数” 该“卡普雷卡尔黑洞数”为_； 设任选的三位数为abc（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数 【答案】（1）247（2）11；9；10 【解析】（1）mn=10m+n， 若2x+ 3x=45，则 102+x+10 x+3=45， x=2， 故答案为

14、：2 若7y8y=26，则 107+y（10y+8）=26， 解得y=4， 故答案为：4 由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得 若93 t +5 8 t =13 1 t，则 100t+109+3+1005+10t+8=10001+1003+10t+1， 100t=700， t=7， 故答案为：7 （2）mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n）， 则mn+nm一定能被 11 整除， mnnm=10m+n（10n+m）=9m9n=9（mn）， mnnm一定能被 9 整除 mnnmmn=（10m+n）（10n+m）mn=100mn+10m2+10n2+mnm

15、n=10 （10mn+m2+n2） mnnmmn一定能被 10 整除 故答案为：11；9；10 （3）若选的数为 325，则用 532235=297，以下按照上述规则继续计算， 972279=693， 963369=594， 954459=495， 954459=495， 故答案为：495 当任选的三位数为abc时， 第一次运算后得： 100a+10b+c （100c+10b+a） =99 （ac） ， 结果为 99 的倍数，由于abc，故ab+1c+2， ac2，又 9ac0， ac9， ac=2，3，4，5，6，7，8，9， 第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，6

16、93，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： 981189=792，972279=693，963369=594，954459495，954459=495， 故都可以得到该黑洞数 495 【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总 体中等难度略大 【变式【变式 2-22-2】（2019济宁）阅读下面的材料： 如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是增函数； （2）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是减函数 例题：证明函数f（x）= 6 x （x0）是减函数 证明：设 0 x1x2， f（x1）f（x2）= 21 21 121212 66666xxxx xxx xx x 0 x1x2，x2x10，x1x20 21 12 6 xx x x 0即f（x1）f（x2）0 f（x1）f（x2），函数f（x） 6 x （x0）是减函数 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f（x）= 2 1 x +x（x0）， f（1）= 2 1 ( 1)