《(完整)高中不等式所有知识典型例题(超全)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整)高中不等式所有知识典型例题(超全)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、资料 . 一不等式的性质 ： 二不等式大小比较的常用方法： 1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法； 4平方法； 5分子（或分母）有理化； 6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最 基本的方法。 三重要不等式 1.（1）若 Rba, ，则abba2 22 (2)若Rba,，则 2 22 ba ab （当且仅当ba时取“ =”） 2. (1)若 * ,Rba，则ab ba 2 (2)若 * ,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“ =”） (3)若 * ,Rba，则 2 2 ba ab
2、 (当且仅当ba时取“ =”） 3.若0 x，则 1 2x x (当且仅当1x时取“ =”） ; 若0 x，则 1 2x x (当且仅当1x时取“ =”） 若0 x，则 111 22-2xxx xxx 即或 (当且仅当ba时取“ =”） 若0ab，则 2 a b b a (当且仅当ba时取“ =”） 若0ab，则22-2 ababab bababa 即或(当且仅当ba时取“ =”） 4.若Rba,，则 2 ) 2 ( 22 2baba （当且仅当ba时取“ =”） 注： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以 求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，
3、和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛 的应用 5.a 3+b3+c33abc（a,b,c R+ ）, a+b+c 3 3 abc（当且仅当 a=b=c 时取等号）； 6. 1 n (a1+a2+ +an) 12 n n a aaL(ai R +,i=1,2,，n)，当且仅当 a 1=a2= =an取等号； 资料 . 变式： a 2+b2+c2ab+bc+ca; ab ( a+b 2 ) 2 (a,b R+ ) ; abc( a+b+c 3 ) 3(a,b,c R+ ) a 2ab a+b
4、ab a+b 2 a 2+b2 2 b.(0ab) 7.浓度不等式： bn an b a bn0,m0; 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（ 1）y3x 2 1 2x 2（2）yx1 x 解题技巧： 技巧一：凑项例 1：已知 5 4 x，求函数 1 42 45 yx x 的最大值。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例 1. 当时，求(82 )yxx的最大值。 技巧三：分离例 3. 求 2 710 (1) 1 xx yx x 的值域。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。 22 (1)
5、7(1 +10544 =5 tttt yt ttt ） 当,即 t=时, 4 259yt t （当 t=2 即 x1 时取“”号）。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数( ) a f xx x 的单 调性。 例：求函数 2 2 5 4 x y x 的值域。 解：令 2 4(2)xt t，则 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4(2) 4 xtt t x 因 1 0,1tt t ，但 1 t t 解得1t不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。 因为 1 yt t 在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故 5 2 y。 所以，所求函
6、数的值域为 5 , 2 。 资料 . 2已知01x，求函数(1)yxx的最大值 .；3 2 0 3 x，求函数(2 3 )yxx的最大值 . 条件求最值 1.若实数满足2ba，则 ba 33的最小值是 . 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 ba 33定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： ba 33 和都是正数， ba 33632332 baba 当 ba 33时等号成立，由2ba及 ba 33得1ba即当1ba时， ba 33的最小值是 6 变式：若 44 loglog2xy，求 11 xy 的最小值 .并求 x,y 的值 技巧六：整体代换： 多次连用最值定理求最值时， 要注意
7、取等号的条件的一致性，否则就会出错。 2：已知0,0 xy，且 19 1 xy ，求 xy的最小值。 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2 y 2 2 1，求 x1y 2 的最大值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2b 2 2 。 同时还应化简1y 2 中 y 2 前面的系数为 1 2 ，x1y 2 x2 1y 2 2 2 x 1 2 y 2 2 下面将 x， 1 2 y 2 2 分别看成两个因式： x 1 2 y 2 2 x 2( 1 2 y 2 2 ) 2 2 x 2y 2 2 1 2 2 3 4 即 x1y 2 2 x 1 2 y 2 2 3 4 2 技巧
8、八：已知 a，b 为正实数， 2baba30，求函数 y 1 ab 的最小值 . 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再 用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本 不等式，对本题来 说，因已知条件中既有和的形式， 又有积的形式， 不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩 资料 . 后，再通过解不等式的途径进行。 法一： a 302b b1 ，ab302b b1 b2 b 230b b1 由 a0 得，0b15 令 tb+1，1t16，ab2t 234t31 t 2（t 16 t ）34t 16 t 2t 16 t
9、8 ab18 y 1 18 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。 法二：由已知得： 30aba2b a2b22 ab 30ab22 ab 令 uab则 u 22 2 u300， 52 u32 ab32 ，ab18，y 1 18 点评：本题考查不等式ab ba 2 ）（ Rba,的应用、不等式的解法及运算能力； 如何由已知 不等式230abab）（Rba,出发求得 ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系， 由此想 到不等式ab ba 2 ）（ Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围 . 变式： 1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。
10、2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数， 3x2y10，求函数 W3x 2y 的最值 . 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ab 2 a 2b 2 2 ，本题很简单 3x 2y2 （3x ） 2（ 2y ） 2 2 3x2y 25 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式， 应通过平方化函数式为积的形式，再 向“和为定值”条件靠拢。 W0，W 23x2y2 3x 2y 1023x 2y 10(3x ) 2 ( 2y ) 2 10(3x2y)20 W20 25 应用二：利用基本不等式证明不等式 1已知cba,为两两不相
11、等的实数，求证：cabcabcba 222 资料 . 1）正数 a，b，c 满足 abc1，求证： (1a)(1b)(1c)8abc 例 6：已知 a、b、cR ，且1abc。求证： 111 1118 abc 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又 112 1 abcbc aaaa ，可由此变形入手。 解：Qa、b、cR ，1abc。 112 1 abcbc aaaa 。同理 12 1 ac bb ， 12 1 ab cc 。 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 111222 1118 bcacab abcabc gg。当且仅当 1 3 abc
12、时取等号。 应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且 19 1 xy ，求使不等式 xym恒成立的实数m的取值范围。 解：令,0,0,xyk xy 19 1 xy ， 99 1. xyxy kxky 109 1 yx kkxky 103 12 kk 。16k，,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若) 2 lg(),lg(lg 2 1 ,lglg, 1 ba RbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 . 分析：1ba0lg,0lgba 2 1 Q（pbabalglg)lglg Qabab ba Rlg 2 1 lg) 2 lg(RQ 四不等式的解法 . 1.一元一
13、次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法 3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一 个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依 次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回 ； （3）根据曲线显现( )f x的符号变化规律，写出 不等式的解集。 如 （1）解不等式 2 (1)(2)0 xx。 （答：|1x x或2x） ； （2）不等式 2 (2)230 xxx的解集是 _ （答：|3x x或1 x） ； 资料 . （3）设函数( )f x、( )g x的定义域都是R，且( )0f x的解集为|12xx，(
14、)0g x的解集 为，则不等式( )( )0f xg xg的解集为 _ （答：(,1)2,)U） ； （4）要使满足关于x的不等式092 2 axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式 086034 22 xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是 _. （答： 81 7,) 8 ） 4分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分 解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般 不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 （1）解不等式 2 5 1 23 x xx （答：( 1,1)(2,3)U） ； （2）关于
15、x的不等式0bax的解集为), 1 (，则关于x的不等式0 2x bax 的解集为 _ （答：),2()1,(）. 5.指数和对数不等式。 6绝对值不等式的解法 ： （1）含绝对值的不等式 |x|a 与|x|a 的解集 （2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法 |ax+b|c-c ax+bc; | ax+b|cax+bc 或 ax+b-c. （3）|x-a|+|x-b| c(c0)和|x-a|+|x-b| c(c0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函
16、数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 方法四：两边平方。 例 1：解下列不等式： 2 (1).2xxx 1 (2). -3x 或 x2-2x3 或 x0 或 0 x1 资料 . 原不等式的解集为 xx0 或 0 x3 解法 2（数形结合法） 作出示意图，易观察原不等式的解集为xx0 或 0 x3 第（1）题图第（2）题图 【解析】 ：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数 图象，则解集为 1 | 2 x x 1 或x- 3 ,结果一目了然。 例 2：解不等式： 1 |x x 【解析】作出函数f(x)=|x|和函数 g(x)= 1 x 的图象， 易知解集为 01（，） ，） 例 3： .|1|1| 3 2 xx解不等式 。 【解法 1】令 2(1) ( )|1|1|2 ( 11) 2(1) x g xxxxx x 令 ( ) 3 2 h x ，分别作出函数g(x)和 h(x)的图象，知原不等式的解集为 3 ,) 4 资料 . |1|1| 3 2 xx 【解法 2】原不等式等价于 令 3 ( ) |1|, ( )|1| 2 g xxh xx 分
