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1、高等数学作业 A 吉林大学公共数学教学与研究中心 2013 年 9 月 第一次作业 学院班级姓名学号 一、 单项选择题 1设 L 是圆周 222 xya ，则 22 () d n L xys( ) （A） 2 n a ；（ B） 1 2 n a ；（C） 2 2 n a；（D） 21 2 n a 2设 L 是由 (0, 0), (2, 0), (1, 1) 三点连成的三角形边界曲线，则d L y s( ) （A） 2 ； （ B） 2 2 ； （C） 2 2； （D） 2 2 2 3设是锥面 222 xyz 在01z的部分，则 22 ()dxyS( ) （A） 1 3 00 ddrr ；（B）
2、 21 3 00 ddrr ； （C） 1 3 00 2ddrr； （D） 21 3 00 2ddrr 4设为 2222 (0)xyzaz， 1是在第一卦限中的部分，则有( ) （A） 1 d4dx Sx S； （B） 1 d4dy Sx S； （C） 1 d4dz Sx S； （D） 1 d4dxyz Sxyz S 二、填空 题 1设曲线 L 为下半圆 2 1yx ，则 22 ()d L xys 2设 L 为曲线|yx 上从1x到1x的一段，则d L y s 3设表示曲线弧 33 cos ,sin , (02 ) 222 t xt yt zt，则 222 ()dxyzs 4设是柱面 222
3、(0)xyaa在0zh之间的部分，则 2d xS 5 设是 上 半 椭 球 面 22 2 1(0) 94 xy zz， 已 知的 面 积 为A ， 则 222 (4936)dxyzxyzS 三、 计算 题 1计算 22 ed xy L s，其中 L为圆周 222 xya ，直线yx及x轴在第一象限内所围 成的扇形的整个边界 2 2d zs，其中 2222 , : 0. xyza xyz 3 计 算 曲 面 积 分()dxyyzzxS , 其 中 曲 面 22 : zxy被 柱 面 22 2xyx所截得部分。 4求 222 dS xyz ，其中是介于0z与4z之间的柱面 22 4xy 四、 应用
4、 题 1求底圆半径相等的两个直交圆柱面 222 xyR 及 222 xzR 所围立体的表面积 2求面密度1的均匀半球壳 2222 (0)xyzaz关于 z 轴的转动惯量 第二次作业 学院班级姓名学号 一、 单项选择题 1设 L 是圆周 222 (0)xyaa负向一周，则曲线积分 3223 ()d()d L xx yxxyyy( ) （A）0；（ B） 4 2 a ；（C） 4 a ；（D） 4 a 2设 L 是椭圆 22 48xyx沿逆时针方向，则曲线积分 2 e dd y L xx y( ) （A）2；（ B）；（C）1；（D）0 3. 设 曲 线 积 分 2 d( )d L xyxyxy
5、与 路 径 无 关 ， 其 中( )x具 有 连 续 的 导 数 ， 且 (0)0 ，则 (1,1) 2 (0,0) d( )dxyxyxy等于（ ） （A） 3 8 （ B） 1 2 （C） 3 4 （ D）1 4已知 2 ()dd () xayyy x xy 为某函数的全微分，则a( )正确 （A）1；（ B）0；（C）2 （D）1 二、填空 题 1设 L 为 22 (1)4xy正向一周，则 22 dd (1) L x yy x xy 2设 L 为封闭折线| 1xxy正向一周，则 22d cos()d L x yxxyy 3设 L 为 0 tan d x yt t从 x=0 到 4 x一段
6、弧，将( ,)d( ,)d L P x yxQ x yy化为第一型 曲线积分为 4设 L 为封闭折线| 1xy沿顺时针方向，则 2 2dd L xy xxy xy 三、 计算 题 1计算 2d d L yxx y ，其中L 是抛物线 2 yx 上从点(1,1)A到( 1,1)B，再沿直线到 (0, 2)C的曲线 2计算 2 ()d(sin)d L xyxxyy ，其中 L 是圆周 2 2yxx 上从(2, 0)A到(0, 0)O 的一段弧 3设( )f x 在 (,) 内具有一阶连续导数，L 是半平面 (0)y内的有向分段光滑 曲线，其起点为( , )a b ，终点为 ( ,)c d 证明 2
7、2 2 1 1()d()1d L x Iy f xyxy f xyy yy （1）证明曲线积分I 与路径 L 无关 （2）当abcd时，求 I 的值 4设力 2 yx y ij F，证明力F 在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点 (1,2)A到点(2,1)B力 F 所作的功 5计算( )cosd( )sind AMB Iyxyxyxy ，其中 AMB 在连结点( ,2)A与 (3 ,4)B的线段之下方的任意路线，且该路线与AB 所围成的面积为2，( )y 具有连续的 导数。 四证明题 证明 222 ddddP xQ yR zPQRs，并由此估计 dddz xx yy z 的上界。 其中为球
8、面 2222 xyza 与平面0 xyz的交线并已取定方向 第三次作业 学院班级姓名学号 一、 单项选择题 1设是球面 2222 (0)xyzaa外侧，则曲面积分 222 ()d dxyzx y( ) （A）0；（ B） 2 4 a ；（C） 2 a ；（ D） 3 4 3 a 2设空间闭区域由曲面 222 zaxy 与平面0z围成 (0)a，记的表面外侧 为，的体积为V，则 2222 d dd d(1)d dIx yzy zxy zz xzxyzx y（） （A）0；（B）V；（ C）2V；（D）3V. 3设是球面 2222 xyza 的外侧，则曲面积分 3 222 2 d dd dd d
9、() x y zy z xz x y xyz ( ) （A）0；（ B）1；（C）2；（D）4 4 设 222 d dd dd dIxy zyz xzx y ，其中为锥面 222 xyz 介于平面0z及zh 之间部分的下侧，则 I （） （A） 41 2 h ；（B） 4 h ; (C) 41 2 h ；（D） 4 h 二、填空 题 1设为球面 222 9xyz，法向量向外，则d dz x y 2向量场 22 eln(1) z Axy iyjxzk 在点 (1,1,0)M处的散度divA= 3设向量场(sin)(cos )Azy izxy j ，则rotA 4 设是 平 面322 36xyz在
10、 第 一 卦 限 部 分 的 下 侧 ， 则I d dd dd dP y zQ z xR x y 化为对面积的曲面积分为I 5设为球面 2222 xyza ，法向量向外，则 3d d xy z 6设 2 2uxyyz ，则 div(grad)u 三、 计算 题 1计算 2 cos dx ys，其中是球面 2222 xyza 的下半球面，法线朝上，是 法线正向与z 轴正向的夹角。 2 计 算( , , )d d2 ( , , )d d( , , )d df x y zxy zf x y xyz xf x y zzx y ， 其 中 ( , , )f x y z 为连续函数，为平面1xyz在第四卦
11、限部分的上侧。 3计算曲面积分 333 dddddd xyz Iyzzxxy rrr 其中 , 22 2222 ,:1 49 xy rxyzz方向外侧 4计算 332 2d d2d d3(1)d dIxy zyz xzx y ，其中是曲面 22 1(0)zxyz的 上侧 5计算 22 dddIyxx yzz ，其中是平面2yz与柱面 22 1xy的交线， 从 z 轴正向看去，取逆时针方向 6. 计算曲面积分 22 ()2d ,IxyzyzS 其中是球面 222 22 .xyzxz 第四次作业 学院班级姓名学号 一、 单项选择题 1设 1 0(1,2,3,) nan n ，则下列级数中肯定收敛的
12、是( ) （A） 1 n n a ；（ B） 1 ( 1) n n n a ；（C） 1 n n a ；（D） 1 n n a n 2若级数 11 , nn nn uv 都发散，则( ) （A） 1 () nn n uv 发散；（B） 1 nn n u v 发散； （C） 1 (|) nn n uv 发散；（D） 22 1 () nn n uv 发散 3设级数 1 n n u 收敛，则必收敛的级数为( ) （A） 1 ( 1) n n n u n ；（B） 2 1 n n u ； （C） 212 1 () nn n uu ；（D） 1 1 () nn n uu 4设 a 为常数，则级数 1 2
13、 1sin nnn （） （A）绝对收敛；（ B）条件收敛；（C）发散；（D）收敛性取决于a 的值 5设 1 ( 1) ln(1) n na n ，下列结论中正确的是（） （A）级数 1 n n a 和 2 1 n n a 都收敛（B）级数 1 n n a 和 2 1 n n a 都发散 （c）级数 1 n n a 收敛，而 2 1 n n a 都发散（D）级数 1 n n a 发散，而 2 1 n n a 收敛 60 (1,2,3,), n un设lim1, n n u n 且则级数 1 1 11 1 ( 1)(). nn n uu n (A) 发散; (B) 绝对收敛 ; （C）条件收敛;
14、 (D) 收敛性根据条件不能确定. 二、填空 题 1若级数 1 21 11 ( 1)2,5 n nn nn uu ，则级数 1 n n u = 2设级数 1 1 ln p n nn 收敛，则p满足什么条件 3当a时，级数 1 n n a 的收敛 三、 计算 题 1判别级数 1 1 (0) n n a na 的敛散性 2求级数 1 ln 31 2(1) n n n n n 的和 3设正项数列 n a单调减少，且 1 (1) n n n a 发散，试问级数 1 1 1 n n n a 是否收敛？ 并说明理由 4判别级数 2 1 1 n n n n 的敛散性 5判别级数 2 ! n n n a n
15、n 的敛散性（0a） 6讨论级数 2 1 ( 1)(0) n n n n a a 的敛散性 四证明题 1若正项数列 n a单调增加且有上界，证明 1 1 ln 2 n n n a a 收敛 2若级数 1 n n a 绝对收敛，证明 11 n n n a a 绝对收敛 第五次作业 学院班级姓名学号 一、 单项选择题 1设 1 lim2 n n n a a ，则幂级数 21 1 n n n a x 的收敛半径（） （A）2R；（ B） 1 2 R；（C） 2R； （D）R 2已知函数 0 )1( n n n xa在2x处收敛，则在0 x处，该级数为（） （A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；
16、（D）收敛性不定 3幂级数 1 1 3 n n n x n 的收敛域是( ) （A） 1 1 -, 3 3 ；（ B） 1 1 -,) 3 3 ；（C）-3, 3 ；（D） 3,3) 4 2 x 展开为 x 的幂级数是( ) （A） 0! n n x n ；（ B） 0 ( 1) ! n n n x n ；（C） 0 (ln 2) ! n n x n ； （D） 0 ( ln 2) n n x n 5. 设 2 ( )(01)f xxx，而 1 ( )sin,(,) n n s xbnx x ，其中 1 0 2( )sind ,1,2,. n bf xn x x n 则 1 2 s （） （A） 1 4 （ B） 1 4 （C） 1 2 （D） 1 2 二、填空 题 1若幂级数 1 n n n a x 在2x处条件收敛，则幂级数收敛半径为 2设幂级数 1 n n n a x 的收敛半径为2，则幂级数 1 1 (1) n n n nax 的收敛区间为 3幂级数 2 12( 3) n nn n n x 的收敛半径为 4 设 函 数 2 ( ),0,1f xxx， 而 0 1 ( )cos,
