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1、龙岩市2021年高中毕业班第三次教学质量检测数学试题参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。题号12345678选项CBBADCBD二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。题号9101112选项ABBCBCDACD8D 设曲线上的点,;曲线上的点,;,12略解:设圆锥底面半径为如图,中,侧面 A正确中,过点平面截此圆锥所得截面面积最大为截max B错误设圆锥的内切球半径为,则 即 C正确设圆锥的内切球半径为,则 设棱长为的正四面体的外接球是圆锥的内切球 D正确三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13 14 15 1616简解:每个盒子都有两种可能,所以基本事
2、件有种。符合条件的基本事件有:六黑有一种:黑黑黑黑黑黑;五黑一白有种:黑黑黑黑黑白,黑黑黑黑白黑,黑黑黑白黑黑,黑黑白黑黑黑,黑白黑黑黑黑;四黑二白有种:黑白黑白黑黑,黑白黑黑白黑,黑白黑黑黑白,黑黑白黑黑白,黑黑白黑白黑,黑黑白白黑黑,黑黑黑白白黑,黑黑黑白黑白,黑黑黑黑白白;三黑三白有种:黑黑黑白白白,黑黑白黑白白,黑白黑黑白白,黑白黑白黑白,黑黑白白黑白.所以,事件“从左往右数,不管数到哪个盒子,总有黑球个数不少于白球个数”发生的概率为.四、解答题:本题共6小题,共70分。17(本题满分10分)解:(1)是与的等差中项,.1分所以当时,由可得,即.2分又因为当时,.3分因此满足上式,.4
3、分所以是以1为首项,3为公比的等比数列,.5分(2), .10分18.(本题满分12分)解:(1)因为,所以 .5分(2)因为,所以,所以; .7分选当时, ,当且仅当等号成立;由余弦定理,得到,所以解得与矛盾,此时不存在。.12分选当,则 即,.12分选当,则 即,.12分19(本题满分12分)证明:(1),平面,平面,又平面,又,得,又、平面,平面; .6分(2) 以为原点,为轴建立空间直角坐标系,过作与直线平行的直线,过作与直线平行的直线,两直线交于点.由图可知,,,,设平面的法向量为由,解得,所以取设平面的法向量为由,解得,所以取又,设二面角的平面角为,则所以二面角的余弦值为.12分2
4、0.(本题满分12分)解:(1)因为进行了5场比赛,所以甲、乙之间的输赢情况有以下四种情况:甲赢4场,乙嬴1场;甲赢3场,乙赢2场;甲赢2场,乙赢3场;甲赢1场,乙赢4场5场比赛不同的输赢情况有种,即28种若甲赢4场,乙赢1场;甲获得全部奖金8000元;若甲赢3场,乙赢2场;当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为,所以甲分得6000元奖金;若甲赢2场,乙赢3场;当比赛继续下去甲赢得全部奖金的概率为,所以甲分得2000元奖金;甲赢1场,乙赢4场.甲没有获得奖金 .2分设甲可能获得的奖金为元,则甲获得奖金的所有可能取值为8000,6000,2000,0,;甲获得奖金数的分布列:80006000200
5、00.6分(2)设比赛继续进行场乙赢得全部奖金,则最后一场必然乙赢当时,乙以贏,;当时,乙以贏,;所以,乙赢得全部奖金的概率为.9分设因为所以所以在上单调递减,于是.故事件“乙赢得全部奖金”是小概率事件.所以认为比赛继续进行乙不可能赢得全部奖金.12分21(本题满分12分)解:(1)由题意:,解得即 .4分(2)由(1)知,曲线,点,设直线的方程为:,联立得:, ,设, .7分,面积,令,当且仅当,即时等号成立,所以面积的最大值为.12分22.(本题满分12分)解:(1)法一:证明:,当,则,又因为,所以,所以在单调递增.当,令,,又因为,所以在单调递减,所以,所以,即又因为,所以,所以在单调递减.又因为 ,所以在区间存在唯一极小值点.5分法二:证明:当时,而在上递增,由得在上递减,当时, 在上递增,综上,在上递减,在上递增,且.故在上存在唯一极小值点.(2)因为 , ,令,则,所以在递减,所以,即当.要证,只需证 .7分法一:令,令,所以,所以在单调递减,又因为,所以,使,即,所以当,单调递增,当,单调递减,所以,所以原不等式得证 .12分法二:令,在单调递减,在单调递增, ,即证原命题得证. .12分10