中考数学第14讲 方程中的设元(学生版)

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1、中考数学专项练习第14讲 方程中的设元一、行程问题知识导航能分析行程问题中已知数与未知数之间的等量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系：，列出一元一次方程解应用题.常考的有两种题型，追及问题和相遇问题.追及问题：双方行程的差=原来的路程（开始时双方相距的路程） 相遇问题：双方所走路程之和=全部路程经典例题例题11甲、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行，若快车甲 的速度为，慢车乙的速度比快车甲慢， 、 两地相距 ，求两车出发到相遇所行时间如果设 后两车相遇，则根据题意列出方程（ ）A. B.C.D.2、 两地相距千米，甲 、乙两车分别从 、 两地同时出发，相向而行 已知甲车速度为千米

2、/时，乙车速度为千米/时，经过 小时两车相距千米，则 的值是（ ）A.或B.或C. 或D. 或3如图，甲乙两人沿着边长为 的正方形，按的方向行走甲从 点以米/分的速度行走，与此同时乙从 点以 米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，用了多长时间，在什么位置追上甲9 / 9甲乙二、经济利润问题知识导航经济利润问题相关知识点：打折销售问题中几个基本量及其之间的关系：销售问题中的基本量有，进价 元，售价 元，利润 元，利润率 ，这些量之间的关系为：， ， 等，这是解决此类问题的基础 商品打 折，是按指定价的销售，而不是把定价减少销售，另要注意，打 折后用参与计算，而不是用 参与计算辅助设元：有些应用题

3、隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需要把这些未知的常量设成未知数，作为桥梁帮助分析.经典例题例题21某品牌商品，按标价八折出售，仍可获得的利润，若该商品标价元，则商品的进价为（）A.元B.元C.元D.元2某件商品，若按标价的八折出售，可获利，若按原价出售，则可获利（）A. B. C. D. 3在我们身边有一些股民，在每一次的股票交易中或盈利或亏损，某股民将甲，乙两种股票卖出，甲种股票卖出元，盈利，乙种股票卖出元，但亏损，该股民在这次交易中是（）A. 盈利元B. 亏损元C. 不赔不赚D. 亏损元4已知：某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为%，每件乙种商品的利润率

4、为当售出的乙种商品的件数比售出的甲种商品的件数多%时，这个商人得到的总利润率为%那么，当每件甲种商品的进价为元，求每件乙种商品的进价为多少元？提示：商品利润率 （商品出售价商品成本价） 商品成本价三、图形问题知识导航观察图形找到等量关系，列出方程，进行求解经典例题例题3如图所示，一个长方形被分割为个大小不同的正方形，其中最小的正方形边长为 这个长方形的长比宽多 例题4用正方形硬纸板做三棱柱盒子，如图，每个盒子由 个长方形侧面和 个三边均相等的三角形底面组成，硬纸板以如图 两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用），现有 张硬纸板，裁剪时 张用了 方法，其余用 方法 （1） 用含 的式子分别表示裁剪出

5、的侧面和底面的个数方法方法图图（2） 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？四、方案选择问题知识导航对于方案选择问题，通常根据具体情况，列出方程，进行求解，最后进行最优方案的选择经典例题例题5为发展校园足球运动，雅礼实验中学决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多 元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过 套，则购买足球打八折（1） 求每套队服和每个足球的价格是多少？（2） 若购买套队服和 个足球（），请用含 的式子分别表示出

6、到甲商场和乙商场买装备所花的费用（3） 在（ ）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？例题6今年某网上购物商城在“双购物节”期间搞促销活动，活动规则如下：购物不超过元不给优惠：购物超过元但不超过元的，全部打 折；购物超过元的，其中元部分打 折，超过元部分打 折（1） 小丽第 次购得商品的总价（标价和）为元，按活动规定实际付多少元？（2） 小丽第 次购物花费元，与没有促销相比，第 次购物节约了多少钱？（请利用一元一次方程解答）（3） 若小丽将这两次购得的商品合为一次购买，是否更省钱？为什么？例题7剃须刀由刀片和刀架组成，某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片

7、不可更换）和新式剃须刀（刀片可更换）有关销售策略与售价等信息如下表所示：老式剃须刀新式剃须刀刀架刀片售价2.5（元把）1（元把）0.55（元片）成本2（元把）5（元把）0.05（元片）五、学霸笔记某段时间内，甲厂家销售了把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？六、数学万花筒方程发展简史公元前1700年时期古埃及数学著作兰德纸草书记载：一个量，加上它的 ，等于19，求这个量另一部古埃及数学著作柏林纸草书6619上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的古巴比伦泥板书上也有类

8、似的数学问题：“两数互为倒数，二者之差是7，求这两个数”欧几里得几何原本中则有很多问题还要用到解二次方程中国古代数学著作九章算术中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗问上、中、下禾实一秉各几何？”九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将zyx,的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源希腊数学家丢番图算术中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程印度数学家阿耶波多在阿耶波多历数书中给出了二次方程的求解方法婆罗摩笈多在

9、公元628年完成的婆罗摩笈多修正体系一书中，也给出了一般二次方程的求根公式花拉子米的代数学一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献1247年，秦九昭给出了一般高次方程的数值解法李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303 年）能够求解一大类的高次联立方程16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式1515年，费罗用代数方法求解三次方程1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如的三次方程代数解法1545年，卡尔丹在大衍术中给出了三次方

10、程和四次方程的解法三次方程 (p,q0)的解法，实质是考虑恒等式 若选取a,b，使得不难解出于是得到a-b所求的x，后人称之为卡尔丹公式七、巩固加油站人们开始讨论一般的五次方程的解法欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出巩固1甲乙两人同时从相距千米的 地去 地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的 倍，甲到达地停留了分钟，然后从 地返回 地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好 小时，甲的速度是 千米/小时，乙的速度是 千米/小时巩固2对某种商品优惠，按原价的 折出售，此时商品的利润率是，此商品的进价为元

11、，商品的原价是 元巩固3国美电器中某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润元，其利润率为现如果按同一标价打九折销售该电器一件那么获得的纯利润为（ ）A.元B.元C.元D.元巩固4某种商品的进价是每件元，标价是每件元（1） 商店要求以利润不低于的售价打折出售，售货员最低可以打几折售出此商品？（2） 为了在十一黄金周获取更多利润，老板决定写上“大酬宾， 折优惠”进行广告促销，为了使利润仍不低于，最低需多少元标价？巩固5在矩形中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求小长方形的宽， 若（），依题意可得方程（ ）A.B. C.D.巩固6新年快到了，贫困山区的孩子想给

12、资助他们的王老师写封信，折叠长方形信纸装入标准信封时发现：若将信纸如图连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有若将信纸如图 三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰，试求信纸的纸长和信封的口宽 宽约图 宽约图 巩固7为开展阳光体育活动，某班需要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的羽毛球拍和羽毛球羽毛球拍每副定价元，羽毛球每盒定价 元，且两家都有优惠：甲店每买一副球拍赠一盒羽毛球；乙店全部按定价的 折优惠（1） 若该班需购买羽毛球拍 副，购买羽毛球 盒（不小于 盒），当购买多少盒羽毛球时，在两家商店购买所花的钱相等？（2） 若需购买副羽毛球拍，盒羽毛球，怎样购买更省钱？巩固8数量（张）单价（元/张）元元张及以上元年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩甲、乙两单位共人， 其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够人经了解，该风景区的门票价格如下表：如果两单位分别单独购买门票，一共应付元（1） 如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？（2） 甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？（3） 如果甲单位有名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？