中考数学第6讲 二次函数最值与面积最值(教师版)

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1、中考数学专项练习第6讲 二次函数最值与面积最值一、二次函数的最值知识导航对于二次函数(表示 的最大值,表示 的最小值)若自变量 的取值范围为任意实数,如图,函数在顶点处取到最值若如图,当,;当,若如图,当,;当,若如图,当,且,;当,经典例题例题120 / 201如图,已知二次函数的图象与 轴交于点,与 轴交于点,对称轴为直线(1) 该二次函数的解析式为 (2) 若 为任意实数,函数的最大值为 (3) 若,函数的最大值为 ,最小值为 (4) 若,函数的最大值为 ,最小值为 (5) 若,函数的最大值为 ,最小值为 (6) 若,函数的最大值为 ,最小值为 答案(1)(2)(3) 12(4) 12(

2、5) 12(6) 12 解析(1) 略(2) 略(3) 略(4) 略(5) 略(6) 略2若一次函数的图象过第一、三、四象限,则二次函数()A. 有最大值B. 有最大值C. 有最小值D. 有最小值 答案 解析B此题无解析例题21若实数满足条件,则的最大值是为 答案 解析此题无解析2如图,在中, 点 在边上,从点 向点 移动,点在边上,从点 向点 移动,若点 , 均以的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接,则线段的最小值是 答案 解析,当时,的值最小,线段的最小值是3我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓我市某电器商场根据民众健康需要, 代理销售某种家用空气净化

3、器,其进价是 元/台经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是 元/台时,可售出 台,且售价每降低 元,就可多售出 台若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 元/台,代理销售商每月要完成不低于 台的销售任务(1) 试确定月销售量 (台)与售价 (元/台)之间的函数关系式(2) 当售价 (元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 (元)最大?最大利润是多少?(3) 当售价 (元/台)满足什么条件时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 (元) 不低于元? 答案(1)(2)(3)当时 有最大值, 当时, 解析(1)(2)(3)售价不低于元/台,数量不低于元,二次函数开口向下,对称

4、轴为,又在对称轴右侧, 随 的增大而减小,当时 有最大值,当利润为元时,即,可解得,当时,例题3是关于 的二次函数,当 的取值范围是时,(1) 在时取得最大值,则实数 的取值范围是 (2) 在时取得最小值,则实数 的取值范围是 (3) 在时取得最大值,则实数 的取值范围是 (4) 在时取得最小值,则实数 的取值范围是 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)图与在时取得最大值,则,所以图图(2) 图时取得最小值,则,所以图(3) 图与在时取得最大值,则,所以图(4) 图时取得最小值,则,所以二、二次函数与面积最值知识导航常见图形的面积表示先补后割补成直角梯形铅锤高水平宽的一半平行线间等积变换此

5、法的主要思考是连接OC把不规则四边形如果,补的两直角三角形相似,可此种方法需要求出的解析式,进而求出 点坐标如果题中已经给出平行线,则选择此种方法会切分成两个规则而三角形能是某些题的关键条件使题目非常简单 经典例题例题4yxO如图,在平面直角坐标系 中,抛物线与 轴交于 , 两点(点 在点 的左侧),与 轴交于点,顶点为 ,对称轴与 轴交于点 ,过点 的直线 交抛物线于 , 两点,点 在 轴的右侧(1) 求 的值及点 , 的坐标(2) 当直线 将四边形分为面积比为的两部分时,求直线 的函数表达式 答案(1)(2), 或 解析(1)抛物线与 轴交于点,解得:,当时,有,(2) ,四边形从面积分析

6、知,直线 只能与边或相交,所以有两种情况: 当直线 边相交与点时,则,点,过点和的直线 的解析式为当直线 边相交与点时,同理可得点,过点和的直线 的解析式为综上所述:直线 的函数表达式为或例题5如图,在平面直角坐标系中,二次函数交 轴 于点、,交 轴于点,在 轴上有一点,连接(1) 求二次函数的表达式(2) 若点 为抛物线在 轴负半轴上方的一个动点,求面积的最大值 答案(1)(2)的面积最大值为 解析(1)二次函数经过点,解得,所以二次函数的解析式为:(2) 由,可求所在直线解析式为,过点 作轴, 交于点 ,交 轴与点 ,过点 作,垂足为 ,如图,则点,设,当时,的面积取得最大值为例题6如图,

7、经过点的抛物线与 轴相交于, 两点(1) 求此抛物线的函数关系式和顶点 的坐标(2) 判断的形状,并说明理由(3) 若点 是第四象限抛物线上的一点,是否存在一点 使以 、 、 、 为顶点的四边形面积最大?若存在,求点 的坐标及四边形的最大面积,若不存在,说明理由 答案(1)(2)(3)抛物线的函数关系式为,顶点 的坐标为 的形状是直角三角形存在一点 使以 、 、 、 为顶点的四边形面积最大,点 的坐标为,四边形的最大面积是 解析(1)(2)经过点的抛物线与 轴相交于, 两点,得,抛物线的解析式为:,顶点 的坐标为,即抛物线的函数关系式为,顶点 的坐标为 的形状是直角三角形,理由:抛物线的解析式

8、为,当时,解得,点 的坐标为,又点,点,在中,由勾股定理得:,过点 做于点 ,过点 做于 点 ,在中,由勾股定理得:,在中,由勾股定理得:,是直角三角形, 即的形状是直角三角形(3) 存在一点 使以 、 、 、 为顶点的四边形面积最大, 如右图所示,当点在之间时,设的坐标为,的面积是:,设过点,点的直线解析式为,得,的面积为:,过点,点的直线解析式为, 四边形,当时,四边形面积取得最大值,此时四边形的面积是, 当时,即的坐标为;当点在之间时,设的坐标为,的面积是:,设过点,点的直线解析式为,得,过点,点的直线解析式为,的面积为:, 四 边形,当时,四边形的面积最大,此时四边形的面积是 , 当时

9、,即点的坐标为;由上可得,点 的坐标为,四边形的最大面积是三、数学万花筒中国古代数学的萌芽原始公社末期,私有制和货物交换产生以后,数与形的概念有了进一步的发展,仰韶文化时期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期,已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用18个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方,确定平直,人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据史记夏本纪记载,夏禹治水时已使用了这些工具。商代中期,在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法,其中最大的数字为三万;与此同时,殷人用十个天干和十二个地

10、支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期;在周代,又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦,表示64种事物。公元前一世纪的周髀算经提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。礼记内则篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。春秋战国之际,筹算已得到普遍的应用,筹算记数法已使用十进位值制,这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用,在数学上亦有相应的提高。战国时期的百家争鸣也促进了数

11、学的发展,尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同,他们提出“矩不方,规不可以为圆”,把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”,“小一”(无穷小)定义为“至小无内”。还提出了“一尺之棰,日取其半,万世不竭”等命题。而墨家则认为名来源于物,名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。墨家不同意“一尺之棰”的命题,提出一个“非半”的命题来进行反驳:将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对中国古代数学理论的发展是很有意义的。四、懒人笔记五、巩固加油站巩固1分别求出在下列条件下,函数

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