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1、中考数学专项练习第5讲 一次函数与面积综合一、一次函数与面积知识导航求交点一次函数的图象与坐标轴交点坐标与 轴交点坐标为：与 轴交点坐标为：（ ， ）两条直线交点坐标联立解析式求解,方程组的解即为交点坐标求底或高平面直角坐标系内任意一点到 轴的距离为纵坐标绝对值，到 轴的距离为横坐标绝对值.常见图形的割补先补后割补成直角梯形直 经典例题例题1已知直线与直线15 / 15yxO(1) 求两直线交点 的坐标(2) 求的面积(3) 在直线找一点 ，当时，求直线的解析式 答案(1)(2)(3)， 解析(1)(2)(3)，解得，与 轴的交点坐标为，与 轴的交点坐标为，设 点坐标为，则由于可得，分别代入的
2、解析式或， 点为，的解析式为或 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与面积例题2如图，直线 ：与直线 ：相交于点 ，直线 与 轴相交于点 ，直线 与轴相交于点 ，求的面积 答案 解析略 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与面积二、水平宽，铅垂高知识导航1、水平宽铅垂高表示面积本质：水平宽铅垂高的一半两点纵坐标之差的绝对值）引入水平或竖直线段对图形进行切割进而求面积水平切分竖直切分注：水平宽铅垂高一般是在动点问题中使用，在选择切分方法的时候，一般都是从动点做切分 经典例题例题3如图，一次函数分别与 轴、 轴交于点 、 两点，在平面直角坐标系中，有一点当三角形
3、的面积为 时，求点 的坐标 答案或 解析略 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与面积例题4如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 与 轴交于点，与 轴交于点 与直线交于点， 为直线 与 轴的交点ECBAOD(1) 求直线 的解析式(2) 在直线上找点 ，使得，求点 的坐标 答案(1)(2)或 解析(1) 略(2) 略 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与面积三、双轨平行线知识导航平行线间等积变换若，则注：平行线转移面积一般在面积相等时中经常使用 经典例题例题5如图，一次函数与 轴、 轴分别交于 、 两点，以线段为边在第一象限内作等腰直角，且(1)
4、求点 的坐标(2) 在平面直角坐标系中有一点，且的面积与的面积相等，求 的值 答案(1)(2)或 解析(1) 略(2) 略 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与等腰三角形结合例题6如图，已知一次函数的图象与 轴、 轴分别交于点 、 (1) 求点 ， 两点的坐标(2) 点为一次函数的图象上一点，若与的面积相等，求点的坐标 答案(1)，(2)点的坐标为或 解析(1)(2)对于直线，令，如图 中，作交直线得到，令得到于，直线的解析式为，直线的解析式为由，解得，点的坐标为当时，与的面积相等，此时，满足条件的点的坐标为或 标注函数 一次函数 一次函数与方程不等式 题型：一次函数与二元
5、一次方程组例题7如图，直线与 轴、 轴分别交于点 、 ，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，(1) 求的面积(2) 如果在第二象限内有一点，且的面积与的面积相等，求 的值 答案(1)(2) 解析(1)(2) 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与等腰直角三角形四、数学万花筒函数发展历程早期函数概念几何观念下的函数。十七世纪伽俐略(GGalileo,意,15641642)在两门新科学一书中,几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念,用文字和比例的语言表达函数的关系.1673年前后笛卡尔(Descartes,法,15961650)在他的解析几何中,已注意到一个变量对另一个变量的
6、依赖关系, 但因当时尚未意识到要提炼函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义,大部分函数是被当作曲线来研究的.1673年,莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”,后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量.与此同时,牛顿在微积分的讨论中,使用 “流量”来表示变量间的关系.十八世纪函数概念代数观念下的函数1718年约翰贝努利(Bernoulli Johann,瑞,16671748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量.”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做
7、x的函数,并强调函数要用公式来表示.1755,欧拉(LEuler,瑞士,17071783) 把函数定义为“如果某些变量,以某一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随着变化,我们把前面的变量称为后面变量的函数.”18世纪中叶欧拉(LEuler,瑞,17071783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式.”他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数和超越函数,还考虑了“随意函数”.不难看出,欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义.现代函数概念集合论下的函数1914年豪斯道夫(FHau
8、sdorff)在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数,其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念.库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了.1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应,则称在集合M上定义一个函数,记为y=f(x).元素x称为自变元,元素y称为因变元.”五、懒人笔记六、巩固加油站巩固1在平面直角坐标系中，将直线沿 轴向上平移 个单位后得到直线 ，已知 经过点(1) 求直线 的解析式(2) 若点 的坐标为，直线 与 轴交于点 ，与的面积之间满足，求 的值 答案(1)(2)的值
9、为 或 解析(1)设平移后的解析式为， 经过点，(2) 令则，过点作 轴的平行线交 于点 ， 则，将代入，当 在点 上方时，当 在 下方时， 的值为 或 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与面积巩固2如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 ：与直线 ：交 于 点 ， 与轴交于点 ，与 轴交于点 (1) 求的面积(2) 如点在直线 上，且使得的面积是面积的 ，求点的坐标 答案(1)(2)点的坐标为或 解析(1)(2)在中，令，解得，即，解方程组，可得，分两种情况：如图所示，当点在射线上时，过作于 ，则是等腰直角三角形，的面积是面积的 ，即点的横坐标为 ，在直线中，当时，
10、如图所示，当点在射线上时，过作于 ，则是等腰直角三角形，由题可得，即点的横坐标为 ，在直线中，当时，综上所述，点的坐标为或 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与面积巩固3如图，已知直线与 轴、 轴分别交与 点和 点，另一条直线经过点BOA且把分成两部分(1) 写出 点和 点的坐标(2) 若 点和 点在直线的同侧，且与的面积相等，求直线的解析式 答案(1)，(2) 解析(1)(2)当时，当时，点 坐标为，点 坐 标为，可设为， 将代入得：，直线为 标注函数 一次函数 一次函数与几何综合 题型：一次函数与面积巩固4如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交 轴、 轴于 ， 两点过点 的直线交 轴正半轴于点，且点为线段的中点求直线的函数解析式试在直线上找一点 ，使得，求点 的坐标 答案 解析见解析(1)与 轴， 轴交点， ，是中点，直线解析式：(2)如图易知，满足的点 有两个，设，即， ，综上所述，或 标注函数 一次函数
