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1、中考数学专项练习第10讲 角的计算和证明一、角的基本概念知识导航 1. 角的概念 角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角角还可以用一个希腊字母（如，、）表示，或用阿拉伯数字（1，2）表示平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单
2、位1度=60分，即1=60，1分=60秒，即1=60 2. 度分秒的换算 以度、分，秒为单位的角的度量制，叫做角度制 度、分，秒的意义如下：把一个平角等分，每一份就是 度的角，记作 .把 度的角等分，每一份就是 分的角，记作 .把 分的角等分，每一份就是 秒的角，记作 ., ，1周角，1平角温馨提示度，分、秒是进制18 / 18在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐级进行 3. 方向角 方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于 的角叫做方向角如图，射线 与正北方向的夹角为 ，则 的方向角是北偏东 ; 与正北方向的夹角为 ，则 的方向角是北偏西
3、；同理， 的方向角为南偏西 或说成是西南方向； 的方向角为南偏东 北西东南温馨提示温在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度当方向角在方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向 4. 时针和分针夹角的求解方法 时针和分针夹角问题实际上就是行程问题， 只不过有两个速度， 一个是时针的速度， 为（度/时）（度/分）；另一个是分针的速度，为（度/分）.用时针与分针走的时间分别乘它们的速度，即得它们各自转过的角度经典例题例题11下列说法正确的是（）A. 平角是一条直线B. 角的边越长，角越大C. 大于直角的角叫做钝角D. 两个锐角的和不
4、一定是钝角 答案 解析 D平角是两条射线组成的一条直线，故此选项错误； 角的边越长，与角的大小无关，故此选项错误； 大于直角且小于 的角叫做钝角，故此选项错误； 两个锐角的和不一定是钝角，正确故选： . 标注 【题型】 几何图形初步 角 角的定义和分类 题型：角的表示2如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ） 1CBOAA. 与表示同一个角B. 表示的是C. 图中共有三个角：，D. 也可用来表示 答案 解析 DA选项：与表示同一个角，正确；B选项：表示的是，正确；C选项：图中共有三个角：，正确；D选项：不能用表示，故 错误 故选D. 标注 【题型】 几何图形初步 角 角的定义和分类 题型：角的
5、表示3下面等式成立的是（ ）A. B. C. D. 答案 解析 D，故 错误；，故 错误； ，故 错误；，故 正确 故 选 标注 【题型】 几何图形初步 角 角度的运算 题型：角度换算例题21如图，甲从 点出发向北偏东方向走到点 ，乙从点 出发向南偏西方向走到点 ，则的度数是（ ）北东A.B.C.D. 答 案 C 解析 ，故答案为 标注 【题型】 几何图形初步 角 角度的运算 题型：方位角2已知点 在点 的北偏西方向，点 在 的东南方向，若平分，则的方向是（）A. 东 偏东B. 北偏东C. 东北方向D. 东偏北 答 案 B 解析 由题意可知，北东西南，又平分， ，则方向北偏东 故 选 标注 【
6、题型】 几何图形初步 角 角度的运算 题型：方位角例题31时钟面上分针和时针的夹角为 度 答案 解析 化为，分针一分走 ，时针一小时走， 分针转过的角度：，时针转过的角度：，则时针与分针夹角： 标注 【题型】 几何图形初步 角 角度的运算 题型：钟面角2钟表盘上指示的时间是 时分，此时时针与分针之间的夹角为（ ）A.B.C.D. 答案 解析 C时针每分钟走，分钟时针走了钟表上 时分，时针与分针之间的夹角为 故 选 标注 【题型】 几何图形初步 角 角度的运算 题型：钟面角二、角的计算经典例题例题41如图，已知，平分，且，则的度数为 答案 解析 ，平分，且，设，的度数为：， 标注 【题型】 几何
7、图形初步 角 角度的运算 题型：角的和差的计算与证明-有图2如图，已知是直角，是锐角，平分，平分，则的度数是（ ）A.B.C.D. 不能计算 答 案 A 解析 标注 【题型】 几何图形初步 角 角度的运算 题型：角的和差的计算与证明-有图例题51已知有公共端点的三条射线、，若，则 答案或 解 析 略 标注 【题型】 几何图形初步 角 角度的运算 题型：角的和差的计算与证明-无图2已知，平分，平分，则（ ）A.B.C.或D. 不能确定 答 案 C 解析 如图 所示：，平分，平分，（），如图 所示：，平分，平分，（），故选： 标注 【题型】 三角形 全等三角形 角平分线 题型：角分线性质应用例题6
8、1将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，的度数是（ ）A.B.C.D. 答案 解析 A是沿折叠而得，.又又，即，故选：， , 标注 【题型】 几何图形初步 相交线与平行线 平行线 题型：折叠问题2如图所示，将一张长方形的纸片沿着，对折，使得点 落在点，点 落在点，如果，则 答案 解析 由对称性得，故答案为： 标注 【题型】 几何图形初步 相交线与平行线 平行线 题型：折叠问题三、角的计数问题知识导航在计算角的个数时，一种方法是按一定顺序累加，固定角的一边，数出另一边共有多少个。另一种方法是使用排列组合知识。经典例题例题71如下图，在已知角内画射线，画 条射线，图中共有 个角； 画 条射线，
9、图中共有 个角； 画 条射线，图中共有 个角； 画 条射线，图中共有 个角 答 案 1:2:3:4: 解析 画 条射线，图中共有 个角； 画 条射线，图中共有 个角； 画 条射线，图中共有 个角；画 条射线，图中共有个角 标注 【题型】 几何图形初步 直线、射线、线段 直线、射线、线段问题 题型：计数2如下图，图中所有角之和等于，求 答案 解析 以为始边的角的总和，以为始边的角的总和以为始边的角的总和以为始边的角的总和是 依条件有，解出，于是四、学霸笔记 标注 【题型】 几何图形初步 角 角度的运算 题型：角的和差的计算与证明-有图五、数学万花筒一种新的说理方法我们来看下面的问题：“为什么在直
10、角三角形中，只能有一个直角：在钝角三角形中，只能有一个钝角？回答这个问题，需要用到一种与过去不同的新的说理方法，为了研究这种方法，我先和同学们讲一段小故事星期天，侄儿带着他3岁的孩子晨晨来我家玩在客厅里，大家谈得很欢许久，我回到自己房间，继续写我的书稿晨晨和我玩熟了，竟追了过来，他一面向我身上爬，一面用手抓我的眼镜“戴眼镜爷爷，我要眼镜，我要眼镜！”我一手抱着他，一手护着眼镜，孩子纠缠不已，我难以招架、急中生智：“晨晨，别闹，你看，你爸走啰！”这话真灵，孩子听说爸爸走了，立即停止了吵闹，显得有些紧张可他仔细倾听了一会儿，又恢复了笑容：“戴眼镜爷爷骗人，爸爸没有走”“你怎么知道他没有走？”“爸爸
11、要是走了，还在隔壁讲话啦？”晨晨在这里就用到一种新的说理方法，他是这样想的： 要是爸爸走了，我就不可能听到爸爸讲话的声音， 现在爸爸还在讲话，说明爸爸没有走于是决心和戴眼镜爷爷纠缠下去我的“退兵之计”宣告彻底失败了但晨晨思考问题的方法却给了我们启发现在，我们就用这种思维方法来说明上面提出的问题先回答“为什么直角三角形中，只能有一个直角？”假如直角三角形中有两个直角；那么两个直角的和就是180，再加上第三个角就大于180； 而三角形三内角的和只能是180，所以直角三角形中不能有两个直角六、巩固加油站同学们用这样的方法不难说明问题的后一半：“为什在钝角三角形中，只能有一个钝角？” 这个就是数学中一种很重要的证明方法，叫做“反证法”！巩固1在下列说法中，正确的是（ ）两条射线组成的图形叫做角；角的大小与边的长短无关；角的两边可以一样长，也可以一长一短；角的两边是两条射线A. B. C. D. 答案 解析 B有公共端点的两条射线组成的图形叫做角
