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1、中考数学专项练习第4讲 解直角三角形及其应用一、解直角三角形知识导航锐角三角函数定义如图，在、 中，正弦： 余弦： 正切：，、的斜边斜边的邻边，所对三角形的边分别为 、特殊角的三角函数值角度解直角三角形1解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（知二求三，二中必须有一个边）11 / 11，（勾股定理）2直角三角形的边角关系 三边之间的关系： 锐角之间的关系： 边角之间的关系： 经典例题例题11在中，斜边的长为 ，则直角边的长是（）A.B.C.D.2在中，则的长为（）.A.B.C.D
2、.3如图，中，则 4如图，在三角形中，则的面积是（）A.B.C.D.5如图，在中，求例题21在中，则的长为（ ）A. B.C.D.2如图所示，已知在中， 是上一点，垂足为 ，求：(1) 的长(2) 的长例题31在中，则 2如图，在四边形中，则为 3在中，则线段的长为 二、解直角三角形的应用知识导航概念含义示例剖析仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角坡角与坡度坡面的垂直高度 和水平宽度 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，则坡度越大，坡面就越陡方向角（或方位角）方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或
3、正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南） 偏东（西）度经典例题例题4如图，为了测量山顶铁塔的高，小明在高的楼底部 测得塔顶 的仰角为，在楼顶测得塔顶 的仰角已知山高为，楼的底部 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高例题5（参考数据：，）如图，某人在山坡坡脚 处测得一座建筑物顶点 的仰角为，沿山坡向上走到 处再测得该建筑物顶点 的仰角为已知米，且 、 、 在同一条直线上，山坡坡度(1) 求此人所在位置点 的铅直高度（结果精确到米）(2) 求此人从所在位置点 走到建筑物底部 点的路程（结果精确到米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）例题6如图，禁止捕鱼期间
4、，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离 海里的 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时 海里的速度航行， 稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时 海里的速度沿北偏东某一方向出发，在 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间东北三、数学万花筒数学史上的“恶作剧”费马最后定理说起毕达哥拉斯定理，相信大家都不会陌生。直角三角形中的毕达哥拉斯公式看上去极其简单，即a+b=c，其中的a、b、c代表直角三角形的三条边，c为斜边，abc为三个整数，我们现在称之为“毕达哥拉斯三数组”。最小的也是最著名的毕达哥拉斯三数组是3-4-5，我国古代称为“勾3、股4
5、、弦5”，也即勾股定理。除此之外，毕达哥拉斯三数组还有其他组合，比如5-12-13等。但是，表面看来极其简单的毕达哥拉斯三数组，在三百多年前却吸引了一位数学家对其潜心研究， 这项研究的领域属于数学上的一个重要分支数论，这位数学家就是法国的皮埃尔德费马。数论是研究有整数解的方程的理论，而费马是对数论产生浓厚兴趣的第一位近现代欧洲数学家。大概在1636年至1640年之间的某一天，费马又找到了另外一项与之相关的研究工作：是否有两个立方数之和为另一个立方数？或者更普遍的说，当指数大于2时，方程X的n次方+Y的n次方=Z的n次方是否有整数解？费马通过研究最终得出结论：任何立方数都不可能写为两个立方数之和
6、的形式；也没有任何四次方数可以写为另外两个四次方数和的形式，普遍的说，任何2次以上的幂都不可能写成另外两个同次幂的形式，费马得出的这个结论后来被称为“费马最后定理”。但是，费马的这个看似十分简单的陈述，却在之后的三百多年间让一切企图证明它的努力徒呼无奈，在不期然间它仿佛变成了数学史上的一个“恶作剧”。为什么这么说呢？这是因为“费马最后定理”实际上在当时并不能算是一个定理，费马并没有完完全全的拿出证明，也就是说它不是一个已经证明的事实，而仅是一项猜想。到了18世纪，瑞士数学家莱昂哈德欧拉把重新证明费马在数论上的结果作为对自己人生的挑战，他确实证明了方程X的3次方+Y的3次方=Z的3次方和X的4次
7、方+Y的4次方=Z的4次方不存在整数解，但对证明任何指数n大于4都成立的一般方法，他最终却饮恨败北。但是，研究还在继续。1852年，德国数学家狄利克莱证明，当n=5时方程没有整数解；1853年，法国数学家拉梅证明n=7时情况相同；1857年，德国数学家库默尔一直证明到了指数n在不大于100的情况下，该方程无整数解。这已是自费马做出他的猜想后的二百多年后了，尽管这一过程的进展十分缓慢， 甚至令很多数学家感到烦恼，但对费马最后定理的证明开拓了数学的新领域，今天的人们称这一领域为“代数数论”。直至到了20世纪，费马最后定理还像是一只永不停歇下蛋的母鸡，仍旧在为数学王国开疆拓土。1993年，英国数学家
8、怀尔斯宣布，他证明了费马最后定理，并于1994年将他的证明提交发表。事实上， 怀尔斯对于指数n普遍情况的证明，要求具有20世纪数学最前沿的概念，而这是当年的费马做梦都不会想到的。在费马与怀尔斯之间，350年的光阴让数学家们上了深刻的一课：一项没有发表证明的“定理”， 根本算不上一项定理！四、懒人笔记五、巩固加油站巩固1如图，已知直角三角形中，斜边的长为 ，则直角边的长是（）A.B.C.D.巩固2在中，则 巩固3巩固4如图，在中，则的面积 如图，在中，求 巩固5如图，在中，于 ，且，求，及的长巩固6在中，已知，那么 巩固7在中，求巩固8如图，某校教学楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，教
9、学楼在建筑物的墙上留下高的影子；而当光线与地面的夹角是时，教学楼顶 在地面上的影子 与墙角 有的距离（ 、 、 在一条直线上）求教学楼的高度（参考数据：，）巩固9如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡比是，堤坝高，则迎水坡面的长度是（ ）A.B.C.D.巩固10如图，为了测量出楼房的高度，从距离楼底 处米的点 （点 与楼底 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进 米到达点 ，在点 处测得楼顶 的仰角为，求楼房的高度（参考数据：，计算结果用根号表示，不取近似值）巩固11如图，小岛在港口 的北偏西方向，距港口 海里的 处，货船从港口 出发，沿北偏东方向匀速驶离港口 ， 小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（）北A. 海里/时B.海里/时C.海里/时D.海里/时巩固12如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从 港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以每小时的速度沿东北方向前进，甲船航行到达 处，发现渔具丢在乙船上，于是，甲船快速(匀速)沿北偏东的方向追赶，结果两船在 处相遇北C东A东北B(1) 甲船从 处追上乙船用了多长时间(2) 甲船追赶乙船的速度是多少？
