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1、解三角形的实际应用举例距离问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是()A.50 n mileB.70 n mileC.90 n mileD.110 n mile【解析】选B. 到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l=70 n mile.2.海洋中有A,B,C三座灯塔,其中A,B之间距离为a,在A处观察B,其方向是南偏东40,观察C,其方向是南偏东70,
2、在B处观察C,其方向是北偏东65,B,C之的距离是()A.aB.aC.aD.a【解析】选D.如图所示,由题意可知AB=a,BAC=70-40=30,ABC= 40+65=105,所以C=45,在ABC中,由正弦定理得=,即BC=a.3.一艘海轮从A处出发,在A处观察灯塔C,其方向是南偏东85.海轮以每小时60海里的速度沿南偏东40方向直线航行,20分钟后到达B处.在B处观察灯塔C,其方向是北偏东65.则B,C之间的距离是()A.10海里B.20海里C.20海里D.10海里【解析】选C.A,B,C的位置如图所示:因为C在A的南偏东85的位置,故EAC=85,因为B在A的南偏东40的位置,故EAB
3、=40,所以CAB=45.因C在B的北偏东65的位置,故DBC=65,因DBA=40,故ABC=105,即ACB=30,在ABC中,=,AB=60=20(海里),故BC=20海里.4.(2019成都高一检测)如图所示,隔河可以看到对岸两目标A,B,但不能到达,现在岸边取相距4 km的C,D两点,测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A,B,C,D在同一平面内),则两目标A,B间的距离为()A. kmB. kmC. kmD.2 km【解析】选B.由已知,在ACD中,CAD=30,ACD=120,由正弦定理得,=,所以AD=4 km,在BCD中,CBD=60,由正弦定理得,=
4、,所以BD= km,在ABD中,由余弦定理得,AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=,解得:AB= km.5.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图所示,测得AC的长度为4 m,A=30,则其跨度AB的长为()A.12 mB.8 mC.3 mD.4 m【解析】选D.由已知A=B=30,所以C=180-30-30=120,由正弦定理得,=,即AB=4(m).6.江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,从炮台顶部测得俯角分别为45和30,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距()A.10米B.100米C.20米D.30米【解析】选D.如图,过炮台顶部A作水平面的垂线,垂足为B,设A
5、处观测小船C的俯角为45,设A处观测小船D的俯角为30,连接BC,BD.在RtABC中,ACB=45,可得BC=AB=30米,RtABD中,ADB=30,可得BD=AB=30米,在BCD中,BC=30米,BD=30米,CBD=30,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos 30=900,所以CD=30米(负值舍去).二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75,距离为12 n mile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30,距离为8 n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在东偏南30,则(1)A处与D处之间的距离为_n mile;
6、(2)灯塔C与D处之间的距离为_n mile.【解析】(1)在ABD中,AB=12,ADB=180-120=60,BAD=75,所以B=45.由正弦定理得AD=24(n mile).故A处与D处之间的距离为24 n mile.(2)在ADC中,由余弦定理,得CD2=AD2+AC2-2ADACcos 30,解得CD=8(n mile).故灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.答案:(1)24(2)88.(2019烟台高一检测)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45的方向上,仰角为,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15的方向上,仰角为,若=
7、45,则此山的高度CD=_米,仰角的正切值为_.【解析】设山的高度CD=x(米),由题可得:CAB=45,ABC=105,AB=300(米), CBD=45,在ABC中,可得:ACB=180-45-105=30,利用正弦定理可得:=,解得:CB=300(米),AC=150 (米),在RtBCD中,由CBD=45,可得:x=CB=300(米),在RtACD中,可得:tan =-1.答案:300-1 三、解答题(每小题10分,共20分)9.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120角,甲、乙两船航速之比为21,求两船间距离最短时,各离该海港多远?【解析】如图所示,甲船
8、由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然EAD=60.设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,而EAD=60,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos 60=7(s-2)2+21(0s7).所以s=2时,BC最小为,此时AB=5,AC=4.即甲船离港4海里,乙船离港5海里.故两船间距离最短时,甲船离港4海里,乙船离港5海里.10.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75,30,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60,AC=0.1 km.
9、(1)试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等?(2)求B,D间的距离.【解题指导】(1)在ADC中,DAC=30,计算可得BCD=60,则CB是CAD底边AD的中垂线,BD=BA;(2)在ABC中,由正弦定理计算可得AB,进而求BD.【解析】(1)在ADC中,DAC=30,ADC=60-DAC=30,所以CD=AC=0.1. 又BCD=180-60-60=60,所以CB是CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA.(2)在ABC中,由正弦定理得:=,即AB=.所以BD=.答:B,D间的距离是km. (45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,
10、测量下列四组数据,较适宜的是()A.a,c,B.b,c,C.c,a,D.b,【解析】选D.由b,可利用正弦定理求出BC.2.张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A.2 kmB.3 kmC.3 kmD.2 km【解析】选B.由条件知AB=24=6(km).在ABS中,BAS=30,AB=6 km,ABS=180-75=105,所以ASB=45.由正弦定理知=,所以BS=3 km.3.在相距2 km的A,B两点处测量目标点
11、C,若CAB=75,CBA=60,则A,C两点之间的距离为()A. kmB. kmC. kmD.2 km【解析】选A.由A点向BC作垂线,垂足为D,设AC=x km,因为CAB=75,CBA=60,所以ACB=180-75-60=45,所以AD=x km,所以在RtABD中,ABsin 60=x,x=.4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在ABC中,AC=15 m,AB=5 m,BC=10 m,由余弦定理得cos ACB=-,所以sin ACB=.又AC
12、B+ACD=180,所以sin ACD=sin ACB=.在RtACD中,AD=ACsin ACD=15=(m).【误区警示】解答本题若选择求ABC的余弦值,再解RtABD求AD,则运算量较大,极易出错.5.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.a kmB.a kmC.a kmD.2a km【解析】选B.在ABC中,AC=BC=a km,ACB=180-(20+40)=120,所以AB=a (km).二、填空题(每小题5分,共20分)6.一轮船向正北方向航行,某时刻在A处测得灯塔M在正西
13、方向且相距20海里,另一灯塔N在北偏东30方向,继续航行20海里至B处时,测得灯塔N在南偏东60方向,则两灯塔MN之间的距离是_海里.【解析】由题设有AM=20,AB=20,BAN=30,ABN=60,所以ANB=90, AN=20=10.而MAN=120,故MN2=1 200+300-22010,所以MN=10.答案:107.某船在行驶过程中开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东75的方向航行15海里后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是_海里.【解析】以O点为原点建立平面直角坐标系,如图所示,设南偏东30方向为射线OM,船沿南偏东75方向航行15海里后到达A点,过点A作x轴平行线,交y于点D,交OM于B点,则B为灯塔.DOA=75,cosDOA=,所以OD=OAcos 75=,又sinDOA=,所以AD=OAsin 75=,又DOB=30,tanDOB=,所以BD=ODtan 30=,所以AB=AD-BD=5(海里).答案:58.如图,船甲以每小时30公里的速度向正东航行,船甲在A处看到另一船乙在北偏东60的方向上的B处,且AB=30公里,正以每小时5公里的速度向南偏东60的方向航行,行驶2小时后,甲、乙两船分别到达C、D处,则CD等于_公里. 【解析】过B作BEAC交AC于E,故BE=15,AE=45,AC=302=60,所以CE=15,BD=52=10
