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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷)数学试题(文史类）第I卷（选择题 共60分）一选择题1.复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ）A.第一象限 B第二象限 C.第三象限 第四象限【答案】C【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义.由几何意义可知复数在第三象限.2.设点,则“且”是“点在直线上”的( ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定.因为点代入直线方程，符合方程，即“且”可推出“点在直线上”;而点在直线上,不一定就是点,即“点在直线上”推不出“且”.故“且”是“点在直线上”
2、的充分而不必要条件.3若集合,则的子集个数为( ）2 B3 C.4 D16【答案】C【解析】本题考查的是集合的交集和子集因为，有2个元素,所以子集个数为个.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ )A. C1 D.【答案】B【解析】本题考查的是双曲线的性质.因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等,故可取双曲线的一个顶点为,取一条渐近线为，所以点到直线的距离为5.函数的图象大致是( ） A. B. C D【答案】A【解析】本题考查的是对数函数的图象由函数解析式可知,即函数为偶函数，排除C；由函数过点，排除,6.若变量满足约束条件，则的最大值和最小值分别为（ )4和3 B和2 C3和2 D.和0
3、【答案】B【解析】本题考查的简单线性规划如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和.7若，则的取值范围是（ ) B C 【答案】【解析】本题考查的是均值不等式因为，即,所以,当且仅当,即时取等号.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序,如果输入某个正整数后，输出的，那么的值为( ).3 B4 C .6【答案】【解析】本题考查的是程序框图.循环前:;第1次判断后循环:;第2次判断后循环：；第3次判断后循环：.故.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象都经过点，则的值可以是( )A B C D【答案】【解析】本题考查的三角函数的图像的平移.把代入，解得,所以,把代入得,或,观察选
4、项,故选B10.在四边形中，则该四边形的面积为（ ）A. B. C5 D.0【答案】C【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长因为，所以，所以四边形的面积为,故选C1已知与之间的几组数据如下表：12345604假设根据上表数据所得线性回归直线方程为.若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为,则以下结论正确的是( )A C. D.【答案】C【解析】本题考查的是线性回归方程画出散点图，可大致的画出两条直线(如下图）,由两条直线的相对位置关系可判断故选C12.设函数的定义域为，是的极大值点,以下结论一定正确的是( ）A 是的极小值点C.是的极小值点 D是的极小值点【答案】【解析】本题考
5、查的是函数的极值函数的极值不是最值，A错误;因为和关于原点对称，故是的极小值点,D正确二填空题3.已知函数，则 【答案】【解析】本题考查的是分段函数求值.1.利用计算机产生之间的均匀随机数,则事件“”发生的概率为 【答案】【解析】本题考查的是几何概型求概率.,即,所以15.椭圆的左、右焦点分别为，焦距为.若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 【答案】【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率由题意可知,中，,所以有,整理得,故答案为.16设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足;（)；（i)对任意,当时，恒有.那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:；其中,“保序同构”的
6、集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号)【答案】【解析】本题考查的函数的性质由题意可知为函数的一个定义域，为其所对应的值域，且函数为单调递增函数.对于集合对,可取函数，是“保序同构”；对于集合对，可取函数，是“保序同构”;对于集合对,可取函数，是“保序同构”故答案为三解答题7.（本小题满分12分）已知等差数列的公差，前项和为(1）若成等比数列，求;(2)若,求的取值范围本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.解：(1）因为数列的公差，且成等比数列, 所以，即,解得或. （2）因为数列的公差,且, 所
7、以； 即,解得18(本小题满分2分)如图，在四棱锥中,，,，,.(1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸，并画出演算过程)；（2）若为的中点,求证:；（3）求三棱锥的体积.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力运算求解能力,考查数形结合能力、化归与转化思想,满分12分.解法一:（）在梯形中,过点作，垂足为,由已知得,四边形为矩形，在中,由，,依勾股定理得：,从而又由平面得，从而在中,由，,得正视图如右图所示:(）取中点，连结，在中,是中点,，又,，四边形为平行四边形，又平面,平面平面（)又,
8、所以解法二：(）同解法一（）取的中点，连结,在梯形中，,且四边形为平行四边形,又平面，平面平面,又在中，平面，平面平面.又，平面平面,又平面平面（)同解法一.(本小题满分12分)某工厂有2周岁以上（含5周岁）工人300名，25周岁以下工人00名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关现采用分层抽样的方法,从中抽取了00名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“5周岁以上（含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成组:,，,分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取人，求至少抽到一名“25周岁以
9、下组”工人的频率（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附表：本小题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识,考查运算求解能力、应用意识，考查必然和或然思想、化归与转化思想等，满分分解：（）由已知得,样本中有周岁以上组工人名,周岁以下组工人名所以,样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人),记为，,;周岁以下组工人有(人)，记为,从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种,他们是:，,其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种,它们是：,，,故所求的概率:（)由
10、频率分布直方图可知,在抽取的名工人中,“周岁以上组”中的生产能手(人）,“周岁以下组”中的生产能手（人),据此可得列联表如下:生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计所以得：因为,所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”2（本小题满分1分)如图，在抛物线的焦点为,准线与轴的交点为点在抛物线上,以为圆心为半径作圆，设圆与准线的交于不同的两点.(1）若点的纵坐标为2，求；(2）若，求圆的半径本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.解：()抛物线的准线的方
11、程为，由点的纵坐标为，得点的坐标为所以点到准线的距离,又.所以.(）设,则圆的方程为,即.由,得设,，则：由,得所以,解得，此时所以圆心的坐标为或从而,即圆的半径为21（本小题满分1分)如图，在等腰直角三角形中,，点在线段上（)若,求的长;（)若点在线段上，且，问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小 值.本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想满分1分解：()在中,，,由余弦定理得,，得，解得或()设，在中，由正弦定理，得，所以，同理故因为，,所以当时，的
12、最大值为，此时的面积取到最小值.即2时，的面积的最小值为.（本小题满分14分）已知函数(,为自然对数的底数)（1）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；()求函数的极值；（3）当的值时,若直线与曲线没有公共点，求的最大值.本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想满分4分.解：（)由,得.又曲线在点处的切线平行于轴,得，即，解得(），当时,，为上的增函数，所以函数无极值当时，令,得，；，.所以在上单调递减,在上单调递增，故在处取得极小值,且极小值为，无极大值.综上,当时，函数无极小值;当,在处取得极小值，无极大值.()当时,令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解.假设，此时，,又函数的图象连续不断,由零点存在定理，可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故又时,知方程在上没有实数解.所以的最大值为解法二：（)()同解法一.(）当时,直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解当时，方程(*）可化为,在上没有实数解.当时,方程（*）化为令,则有令，得，当变化时，的变化情况如下表:当时,，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为.所以当时，方程(*）无实数解,解得的取值范围是综上，得的最大值为.
