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1、012届高考数学二轮复习资料专题六不等式(教师版)【考纲解读】了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图;会从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组,会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题学会运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决有关不等式问题,形成
2、良好的思维品质,培养判断推理和逻辑思维能力从近几年高考题目来看,不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现,且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合,难度较低【考点预测】本章知识的高考命题热点有以下两个方面:1均值不等式是历年高考的重点考查内容,考查方式多样,在客观题中出现,一般只有一个选择或填空,考查直接,难度较低;在解答题中出现,其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,难度较高。2.不等式证明也是高考的一个重点内容,且多以解答题的一个分支出现,常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合,题目往往非常灵活,难度高。线性规划问题是近几年高考的一个新热点,在考题种主要以选择、填空形式
3、出现,当然,也可以实际问题进行考查。考查了优化思想在解决问题的广泛应用,体现了数学的应用价值,从而形成解决简单实际问题的能力,进一步考查了考生的数学应用意识。3.预计在212年高考中,对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法,仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用,突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用,特别是求最值问题、不等式证明问题,将继续强调考查逻辑推理能力,尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。 【要点梳理】1.不等式的性质与证明:(1)不等式的基本性质;()均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件“一正二定三
4、相等”,三者缺一不可;()一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式;(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。2.不等式的解法:(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法(2)分式不等式解法;()不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.【考点在线】考点一 不等式的性质例.(011年高考浙江卷文科)若为实数,则“”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件.充分必要条件 D.
5、即不充分也不必要条件【答案】 D【解析】则不充分 则 不必要条件,故选D.【名师点睛】本题考查不等式的性质与充分必要条件,可利用作差比较法,也可用特殊值代法.【备考提示】:不等式的性质是高考考查的热点之一,几乎年年必考,不等式的性质经常与充分必要条件结合在一起综合考查,熟练不等式的各项性质是解答好本题的关键.练习1:(0年高考全国卷文科5)下面四个条件中,使成立的充分而不必要的条件是( )(A) (B) () (D)【答案】A【解析】 故选A.【名师点睛】本小题先用“1”的代换,再展开后,应用均值不等式.【备考提示】:熟练掌握均值不等式及其变形公式是解答好本类题的关键 练习2: 010年高考山
6、东卷文科4)已知,且满足,则xy的最大值为 【答案】3【解析】因为,所以,解得,故xy的最大值为3考点三 解不等式高考要求掌握简单不等式的解法解不等式是研究函数和方法的重要工具,是求函数的定义域、值域、最值、单调性、求反函数和参数的取值范围的重要手段,“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一,它渗透到高中数学的每个角落中(如函数、方程、集合、数列、平面向量、三角函数、解析几何、立体几何、概率与统计、导数等),其基本思想是转化思想.转化的方法是: 超越式分式整式(高次)整式(低次)一次(或二次)不等式其中准确熟练求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基础,解一元高次不等式的有效方法是序轴法.
7、此外,要重视数形结合、分类讨论思想的运用.不等式的解法是高考必考内容,直接考查主要以选择题、填空题为主,这类题小巧灵活,常考常新;但有时也以解答题形式出现,主要考查含参数的不等式的解法间接考查则更多,常以工具作用出现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何、平面向量等问题之中,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值不等式,但偶尔也会涉及无理不等式、指数和对数不等式的解法例3.(201年高考辽宁卷理科)设函数(x)=则满足f(x)的x的取值范围是( ) ()1,2 (B)0,2 (C)1,+) (D)0,+)【答案】 D【解析】不等式等价于或解不等式组,可得或,即,故选.【名师点睛】本
8、题考查不等式的解法,包含指数与对数不等式.【备考提示】:不等式的解法是高考的热点问题之一,要熟练一元二次不等式(包括含有参数的)、简单的分式不等式、指数与对数不等式.练习3:(2011年高考广东卷文科5)不等式的解集是( )A. B.C D. 【答案】【解析】由题得所以选D.考点四 线性规划线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题.例4. (211年高考安徽卷文科6)设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为( )() 1,1 (B) 2,2 (C ) 1,2 (D)2,1【答案】B【解析】三条直线的交点分别为(0,1)
9、,(0,1),(1,0),分别代入,得最大值为2,最小值为-2故选.【名师点睛】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等题【备考提示】:线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时,可以不画图,直接将交点坐标求出代入计算即可.练习:(211年高考山东卷文科7)设变量x,y满足约束条件,则目标函数的最大值为( ) (A)11 ()1 (C)9 (D).5【答案】B【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点A(,1)时, 目标函数取得最大值为1,故选.考点五 不等式的证明高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容,同时也是高中
10、数学的难点,加之题型广泛,涉及面广,证法灵活,因而备受命题者的青睐,成为高考的热点问题.但由于在高考时,涉及到不等式证明的问题往往出现在压轴题上,其综合性强、思维量大,因而不等式证明问题也就成为高考的难点问题.现在的高考没有单独命制不等式证明的试题,而是把它与函数、数列、导数、解析几何、立体几何、概率与统计等问题相结合命制成综合的压轴题,重在考查逻辑思维能力,以及常用的不等式证明方法(基本方法:比较法、综合法、分析法;常用方法:放缩法、换元法、求导法、反证法、数学归纳法等)例5.已知a,bR,且+b=1.求证: 证法一:比较法,作差消,化为a的二次函数, 也可用分析法、综合法,反证法,实质与比
11、较法相同证法二:(放缩法),左边右边证法三:(均值换元法),所以可设,,左边=右边当且仅当t0时,等号成立.证法四:(判别式法)设y= (a+2)2+(b+2)2,由a+=1,有,所以,因为,所以,即故.【名师点睛】:形如b=1结构式的条件,一般可以采用均值换元,注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.【备考提示】:证明不等式的方法有许多,关键是靠平常的善于总结.5 已知,求证:.【解析】,两边同加上得,又,两边同加上得,,.【考题回放】1.(011年高考山东卷理科4)不等式的解集为( )()-5.7 (B)4,6 (C) (D)【答案】【解析】则因为所以即于是所以成立,充分
12、条件; 反之成立,即则,故,不必要条件。故选A.3.(009年高考山东卷文科第5题)在R上定义运算:,则满足的实数的取值范围为( )A. . C. .【答案】B【解析】由题意知: ,解得,故选B.4. (011年高考天津卷文科)已知则( )A. . C D. 【答案】B【解析】因为,都小于且大于0,故排除C,;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B5.(211年高考广东卷文科4)函数的定义域是 ( )A B. C. D.【答案】C【解析】由题得所以选C.6.(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定,若为上的动点,点的坐标为,则的最大值为( ).
13、3B4CD.【答案】B【解析】由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,,所以就是求的最大值,表示数形结合观察得当点M在点B的地方时,才最大。,所以,所以选择B7.(01年高考福建卷文科10)若0,b0, 且函数f(x)=4x3-a2-2x+2在处有极值,则的最大值等于( )A.2 B. 3C D. 9【答案】D【解析】,所以在处有极值,所以,即,又,所以,即,所以,当且仅当时等号成立,所以的最大值为,选D.当时,;当时,,越往下的临界值越小,故选C.9(211年高考湖南卷文科3)的( )A.充分不必要条件 必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因,反之,不一定有。1.(201年高考湖北卷文科8)直线与不等式组表示平面区域的公共点有( )A.0个.1个C.2个.无数个【答案】B【解析】画出可行域(如图示),可得B(0,) , (2,4),C(,0) ,D(0,), E(0,10),故由图知有唯一交点,故选B.1.(201年高考安徽卷文科3)函数的定义域是 【答案】(3,2)【解析】由可得,即,所以.12(201年高考江西卷文科1)对于,不等式的解集为_【答案】【解析】两种方法,方法一:分三段,当x-0时, -x10