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1、第 1 页 共 3 页GFEAB CDFEABDOLN证明几何不等式证法举例四川省广元市宝轮中学 唐明友几何不等式的证明是初中数学一个难点，所用知识不外乎有：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；同一三角形中，大角对打边，大边对大角以及三角形内角和定理等知识，下面就其证明思路进行分析。一.中线加倍法例 1.如图，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证： ADAD+BC证明：分别取 AB、CD 的中点 E、F，连接 OE、OF、EFACBD，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点OE、OF 分别是 RtABO 、RtCDO斜边上的中线，即 OE= AB,OF= CD,21又 EF 是
2、梯形 ABCD 的中位线，可得 EF= 2CD在OEF 中，OE+OFEF，即 AB+ CDAB+CDAD+BC评注：由结论的右边 AD+BC 可联想到梯形的中位线，确定取 AB、CD 的中点 E、F,再由ACBD 可得一些直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，便迎刃而解了。四.平移法例 4.如图，在ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，BE=CF，求证：EFAC,ADBC 于 D,P 为 AD 上任意一点，求证：PB-PCAB-AC证明：将ADC 翻折 180 至ADF，连接 PF，因 ADBC，由轴对称的性质得0AF=AC,PF=PC,在ABE 中，
3、AE+BEAB 在EFP 中，EP+EFPF +得：AE+BE+EP+EFAB+PF，即 AF+PBAB+PF，AC+PBAB+PC因此 PB-PCAB-AC 评注：通过翻折变换把 AC、PC 转化到 AF 和 PF，然后将 AB、BP 分别放到如图中两个阴影三角形中，再运用三角形边的性质变形而证明结论六.旋转法例 6.在ABC 中，AB=AC，P 是三角形内一点，且APBAPC,求证：PCPB证明：以 A 为中心，把APB 逆时针旋转BAC 的角度，变成AP C，连接 PP ,由旋转地性质可得APBAP C， ，APB=AP C，PB=P C,AP=AP ，1=2， ， ，APBAPC，即2
4、+41+3，43在CPP 中可得 PCP C，PCPB ， ，评注：旋转APB 到AP C，利用旋转的性质和等腰三角， 形性质构造出CPP ，再根据“大角对打边”证明本题，其思路清， 晰明了。七.截补法例 7.在ABC 中，ABAC,D 是BAC 的角平分线上任意一点，求证 AB-ACDB-DC证明：在 AB 上截取 AE=AC，连接 DEAD 平分BAC，1=2，又 AE=AC,AD=AD，AEDACD，DE=DC在BDE 中 BEBD-DE,而 BE=AB-AE=AB-ACAB-ACDB-DC 评注：观察结论左边 AB-AC，且有1=2，便可采用截长补短得到这个差 BE，再根据全等三角形的
5、性质进行转化，从而构造出BDE，运用三角形边的性质得证。八.面积法例 8.如图，G 为ABC 的重心，EF 过点 G 且与 AB、AC 分别交于 E、F,求证：EG2GF证明：连接 AG,再连接 BG 并延长交 AC 于 D。G 是重心，BG=2GD = = = =2FEAGSGDFBES-AEG2GF评注：注意 BG=2GD 是三角形重心的性质。本题在第 3 页 共 3 页运用面积法解题时，用到了同高不同底的三角形面积比的性质和分子增大分母缩小的放缩法，最后运用三角形重心的性质顺利获得解决。九.利用平行线例 9.已知:P 是边长为 1 的正三角形 ABC 内任意一点，设 m=PA+PB+PC，求证： AB=1,同理 PB+PC1,PC+PA12(PA+PB+PC)3,即 m 23过 P 作 DEBC 分别交 AB、AC 于 D、E,则ADE 也是正三角形，AD=DE=AE，又12，2=3，得13，故 ADPA在PBD、PCE 中，BD+PDPB, PE+CEPCBD+PD+PE+CEPB+PC,继而 AD+BD+PD+PE+CEPA+PB+PCAB+ACm,亦即 m1ABCDBC，即BCDDBC BDCD，AB+BDAC+CD这与已知条件“AB+BDAC+CD”相矛盾ABAC评注：当直接证明较困难时，可以考虑运用反证法，这也是解题中的化归策略之一。
