证明三角形三条高交于一点

《证明三角形三条高交于一点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《证明三角形三条高交于一点（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、QP OF ED CBA证明三角形三条高交于一点资料证法一：运用同一法证三条高两两相交的交点是同一点。已知：ABC 的两条高 BE、CF 相交于点 O，第三条高 AD 交高 BD 于点Q，交高 CF 于点 P。求证：P、Q、O 三点重合证明：如图，BEAC，CF ABAEB = AFC = 90又BAE = CAFABE ACF ，AFECB即 ABAF = ACAE又ADBCAEQ ADC，AFP ADB ，ACQDE BPF即 ACAE = ADAQ， ABAF = ADAPABAF = ACAE，ACAE = ADAQ，ABAF = ADAPADAQ = ADAPAQ = AP点 Q、P

2、 都在线段 AD 上点 Q、P 重合AD 与 BE、AD 与 CF 交于同一点两条不平行的直线只有一个交点BE 与 CF 也交于此点点 Q、P、O 重合。3 21OFED CBA证法二：连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，运用四点共圆性质。已知：ABC 的两条高 AD、BE 相交于点 O，第三条高 CF 交高 AB 于点F，连结 CO 交 AB 于点 F。求证：CFAB。证明:ADBC 于 E，BEAC 于 EA、B、D、E 四点共圆1ABE同理212ABEABE+ BAC90，2+ BAC90即 CFAB。证法三：证明两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法证明。证明：如图

3、6，以直线 BC 为 x 轴，高 AD 为 y 轴，建立直角坐标系，设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线垂直的条件 abkackABCFABE1,1则三条高的直线方程分别为： )3(CF2E)1(0Dcxabyx：xCDOyABFELNM F ED CBAOF ED CBA解（2）和（3）得 0)(,)()( xcbcxabc0,(bc 0x这说明 BE 和 CF 得交点在 AD 上，所以三角形的三条高相交于一点。证法四：转化为证明另一个三角形的三条中垂线（或中线）交于一点。已知：AD、BE、CF 是ABC 的三条高。求证：AD、BE、CF 相交于一点。证

4、明：过点 A、B、C 分别作 BC、AC、AB 的平行线 ML、MN、NLAMBC ，MB AC四边形 AMBC 是平行四边形AMBC同理，ALBC AMALADMLAD 是 ML 的垂直平分线同理，BE、CF 分别是 MN、NL 的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点AD、BE、CF 相交于一点。证法五：运用锡瓦（Ceva）定理证明。已知：AD、BE、CF 是ABC 的三条高。求证：AD、BE、CF 相交于一点。证明：如图，ADBC 于 E，BEAC 于 E ABD CBF （ 1）CBAFD同理，由ADC BEC 得 ， （2）E由AFC AEB （ 3）ABCF三式相乘得 1ABCAEFD即 1EAD、BE、CF 相交于一点。